Una elemental pregunta en el espacio de Sobolev

Question

Tengo una pregunta en el espacio de Sobolev. Este es uno de los ejercicios en Evans PDE libro de texto. Deje $U=\{(x,y) | |x|<1, |y<1|\} \subset \mathbb{R}^2$. Definir una función $u(x,y)$ por $$ u(x,y)=\begin{cases} 1-x & \text{if } x>0, \ |y|<x \\ 1+x & \text{if } x<0, \ |y|<-x \\ 1-y & \text{if } y>0, \ |x|<y \\ 1+y & \text{if } y<0, \ |x|<-y \end{casos} $$ Me gustaría saber para que $p$ la función de $u$$W^{1,p}(U)$.

A mí me parece que la debilidad de los derivados están dadas por $u_x(x,y)=-1,1,0,0$ $u_y(x,y)=0,0,-1,1$ en cada región respectivamente, pero esta pregunta es demasiado trivial. Podría alguien informar de cualquier error que cometí?

Answer 1

Su intuición es correcta, pero recuerde que usted tiene que probar que las funciones que dar (que técnicamente no son funciones, y sólo se definen a medida cero) son en realidad los débiles derivados de $u(x,y)$, es decir, calcular que $$\int_U v \varphi \, dx = - \int_U u \varphi_x \, dx$$ donde $v$ es su candidato para $u_x$, etc, y $\varphi \in C_c^{\infty}(U)$.