Con la excepción de la Total Derivado; Es la Regla de la Cadena válida cuando se tiene derivadas parciales mixtas ordinarios derivados?

Question

Sé que la regla de la cadena para una función de una variable $y=f(x)$ es escrito como $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}y}\times \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\tag{1}$$

I also know that if $u=f(x,y)$ then the total derivative is

$${\rm d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot{\rm d} x+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot{\rm d}y$$

But from $(1)$ is there any plausibility in changing all the derivatives to partial derivatives such that $$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\times \frac{\partial y}{\partial x}$$ when $y=f(x)$ or does the above formula only hold iff $y=f(x,y)$?

Para ilustrar mi confusión, voy a añadir a esta pregunta y la solución para dar un poco de contexto:

Start of Question:

Si $f$ es una función arbitraria, muestran que $\psi(z,t)=f(z-vt)$ es una solución para la ecuación de onda

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}$$

por escritura $f(z-vt)$ $f(y)$ y el uso de la regla de la cadena para diferenciar con respecto a $t$$z$.

End of Question.

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La siguiente es una palabra por palabra copia de la solución. He marcado $\color{red}{\mathrm{red}}$ las partes de la solución para los que no entiendo y las partes marcadas con $\color{#180}{\text{green underbraces}}$ son no parte de la solución y representar a donde yo creo que el autor ha cometido errores:

Start of Solution:

La ecuación de onda es $$\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0$$ Escrito $$f^{\prime}(y)=\frac{{\rm d}f(y)}{{\rm d}y}$$ y $$f^{\prime\prime}(y)=\frac{{\rm d}^2f(y)}{{\rm d}y^2}$$ then writing $y=z-vt$, $$\frac{\partial f(y)}{\partial z}=f^{\prime}(y)\underbrace{\color{red}{\frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}}}_{\color{#180}{\Large\frac{\partial y}{\partial z}}}=f^{\prime}(y)\tag{A}$$ y $$\frac{\partial^2 f(y)}{\partial z^2}=\frac{{\rm d}f^{\prime}(y)}{{\rm d}y} \underbrace{\color{red}{\frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}}}_{\color{#180}{\Large\frac{\partial y}{\partial z}}}=f^{\prime\prime}(y)$$ Similarly, $$\frac{\partial f}{\partial t}=f^{\prime}(y)\underbrace{\color{red}{\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}}}_{\color{#180}{\Large\frac{\partial y}{\partial t}}}=-vf^{\prime}(y)$$ y $$\frac{\partial^2 f(y)}{\partial z^2}=\frac{{\rm d}\left(-v f^{\prime}(y)\right)}{{\rm d}y}\underbrace{\color{red}{\frac{{\rm d}y}{{\rm d} z}}}_{\color{#180}{\Large\frac{\partial y}{\partial z}}}=v^2f^{\prime\prime}(y)$$ Sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuación de onda da $$\frac{\partial^2 f(z-vt)}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f(z-vt)}{\partial t^2}=f^{\prime\prime}(z-vt)-\frac{1}{v^2}\left(v^2f^{\prime\prime}(z-vt)\right)=0$$

End of Solution.

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Tengo tres preguntas con respecto a la solución anterior:

1. Son las partes marcadas en $\color{#180}{\text{green underbraces}}$ correcto? Yo creo que deberían ser derivadas parciales como $y$ es una función de dos variables ( $z$ $t$ ) desde $y=z-vt$.
2. Si el $\color{red}{{\rm red}}$ texto resulta ser correcta, a continuación, a partir de $({\rm A})$ $$\frac{\partial f(y)}{\partial z}=\frac{{\rm d}f(y)}{{\rm d}y}\times \frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}$$ Cómo puede ser esto cierto? Ya tenemos una derivada parcial en el lado izquierdo y dos ordinarios derivados en la RHS. Yo no sabía que se podía 'mezcla' de derivados como eso. Si esto es cierto, podría alguien por favor que me lo explique?
3. Si el $\color{#180}{\text{green underbraces}}$ resultan ser correctas, a continuación, a partir de $({\rm A})$ $$\frac{\partial f(y)}{\partial z}=\frac{{\rm d}f(y)}{{\rm d} y} \times \frac{\partial y}{\partial z}$$ Pero esto significa que el lado izquierdo es parcial, mientras que el lado derecho es una mezcla. Ya sea de forma redonda, no entiendo por qué las derivadas parciales se pueden mezclar con los ordinarios derivados.

Es alguien capaz de explicar por qué usted puede mezclar parciales y ordinarios derivados de la regla de la cadena?

Siéntase libre de respuesta con ejemplos si es más fácil explicar de que manera.

Answer 1

Hay un abuso de notación pasando aquí, que es bastante común en este ámbito. La ecuación de onda se define por una función de $\psi(z,t)$, en función de dos parámetros $z,t$ para los que tiene sentido perfecto para evaluar las derivadas parciales como $\partial \psi/\partial z$.

Cuando la configuración de $\psi(z,t)=f(z-vt)$, estamos contratante $\psi$ a una función $f(y(z,t))$,$y=z-vt$. Formalmente, $\partial f(y)/\partial z=0$ desde $f$, por definición, $f$ no está explícitamente depende de $z$. Así que lo que el libro propone es algo como esto:

$$\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{df(y)}{dy}\frac{d y}{d z}=f'(y)\frac{\partial y}{\partial z}=f'(y).$$

Esto es perfectamente razonable y justificada a través de la regla de la cadena: $f$ depende únicamente de la $y$, e $y=y(z,t)$ admite derivadas parciales. Se puede obtener utilizando el estándar de definiciones.

Resumen: el libro está abusando de la notación, cuando la escritura $\partial f(y)/\partial z$ que realmente quiere decir $\partial \psi/\partial z$.