Encuentre $f$ tal que $\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}f(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$ .

Question

Qué funciones no constantes $f$ (en su caso) satisfacen $\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}f(x)=f\left(\sqrt{x}\right)$ para $x>0$ ?

Sospecho que no hay $f$ que satisface la ecuación diferencial, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

He metido la pata en mi primera respuesta, pero me he dado cuenta de que esto puede ser mucho más fácil después de todo. Mira las soluciones analíticas aquí y amplíalas en serie.

$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} f_j x^j$$

$$f''(x) = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1) (j+2) f_{j+2} x^j$$

Enchufar $x^2$ en este último e igualar coeficientes similares. Esto da:

$$(j+1) (j+2) f_{j+2} = f_{2j}$$

y

$$f_{2j+1} = 0$$

Ahora, basta con leer los coeficientes empezando por $j=0$ y pasando por los valores pares.

$$f_0 = 1 \cdot 2 \cdot f_2$$

$$f_4 = 3 \cdot 4 \cdot f_4$$ o $$f_4 = 0$$

$$f_8 = 5 \cdot 6 \cdot f_6$$

$$f_{12} = 7 \cdot 8 \cdot f_8$$

¿Puede ver cómo esto puede ampliarse de forma coherente?

Answer 2

¿no deberías integrar dos veces para responder? haciendo la respuesta (4/15)x^5/2 + c

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5E2%2Fdx%5E2+4%2F15x%5E%285%2F2%29