Es cierto que $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x\implies\ln x = \frac{x^0}{0}$?

Question

Hace poco me enteré de que $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x$.

Sin embargo, por el poder de la ley de integración, la integral de $1/x$ es igual a $x^0 / 0$ que es indefinido. Por lo tanto, es $x^0 / 0 = \ln x$?

Estoy en lo cierto en este supuesto?

Answer 1

Su observación puede ser entendido correctamente el uso de un límite. Específicamente, $f(x,p)=\int_1^x y^{p} dy$ es una función continua de $p$, incluso en $p=-1$. Esto significa que

$$\lim_{p \to -1} \frac{x^{p+1}-1}{p+1} = \ln(x).$$

Usted puede probar esto directamente con L'Hospital de la regla, a condición de que usted ya sabía que $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$.

Answer 2

El poder de la regla no puede ser utilizado en la integración de las $\int \frac 1x\,dx = \int x^{-1}\,dx$.

Supongo que se refiere al hecho de que para $n\neq -1$, $$\int x^{n} \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+ C$$ Note that this holds for all integers $n \neq -1$.

Por lo $\dfrac {x^0}0 \neq \ln |x|$, y como ustedes saben, $\dfrac {x^0}0$ no está definido.

Answer 3

Podemos definir a la $\log{x}$ explícitamente como $$ \int_1^x \frac{dt}{t}; $$ pero, ¿por qué esta definición?

Tenga en cuenta que, para que los poderes generales $x^{n-1}$, tenemos $$ \int_1^x t^{n-1} \, dt = \frac{x^n-1}{n}, $$ por eso no podemos establecer $n=0$ aquí para tener una respuesta sensata, sin llegar a $0/0$. Sin embargo, esto sugiere que $$ \lim_{n \to 0} \frac{x^n-1}{n} = \log{x}. \tag{1} $$ Esta es la verdad, incluso si se define el logaritmo de la inversa de la exponencial: recordar la definición de $e^x$ como límite, $$ y = e^x = \lim_{m \to \infty} \left( 1+\frac{x}{m}\right)^m $$ decir, entonces podemos hacer algo de álgebra para encontrar $$ x= \lim_{m \to \infty} m(y^{1/m}-1), $$ (o acaba de sustituir a este y a ver qué pasa) y si se establece a $m=1/n$ recuperar el límite de (1).

Answer 4

Una leve, pero importante corrección a hacer: $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln |x|$ + c

Utilizamos el valor absoluto de x con el fin de tener el mismo dominio para la derecha y a la izquierda.

Si sólo tomamos el logaritmo natural de x, nuestros valores de x están restringidos a ser > 0.

Mientras que en $x^-1$, Nuestros valores de x se restringe solamente a x !=0

Answer 5

todas las respuestas, de modo que la medida de uso de la representación integral de la $\ln x.$ voy a utilizar el hecho de que $$ \text{ the derivative of } a^x \text{ at } x = 0 \text{ is }\ln a.$$ written in the form $$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a. $$ switching the roles of $x$ and $un$ we have $$\lim_{a \to 0} \frac{x^a - 1} a = \ln x. $$ in a less than rigorous way, we have $$\frac{x^0 - 1} 0 = \ln x $$