Una prueba que estoy leyendo afirma que en si $r$ es un miembro no nulo de un dominio integral $R$ , entonces el conjunto $\{1, r, r^2, ...\}$ es infinito. Parece que no puedo demostrar que esto es así. Llego a demostrar que si el conjunto es finito, entonces alguna potencia de $r$ es igual a la identidad multiplicativa, y después parece que no puedo obtener ningún tipo de contradicción.
Respuesta
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Eso es porque hay algo que falta en la declaración.
Para $r=1$ ¡las potencias son trivialmente un conjunto finito!
Además, para cualquier $n$ -raíz de la unidad en $\Bbb C$ las potencias son un conjunto finito, por lo que también es un contraejemplo al enunciado del problema.
Podrías convertirlo en una afirmación verdadera de esta manera: Para cualquier No es una unidad $r$ en un dominio, el conjunto de potencias de $r$ es infinito. Por su propio trabajo hasta ahora, puede demostrarlo.
