Probar que: $\aleph_0 \cdot \frak{c} = \frak{c} \cdot \frak{c}$

Question

He estado jugueteando con esto es suficiente. Encontrar una respuesta aquí , pero no lo entendía muy bien.

¿Cómo puedo probar que: $$\aleph_0 \cdot \frak{c} \leq \frak{c} \cdot \frak{c}$$ $$\frak{c} \cdot \frak{c} \leq \aleph_0 \cdot \frak{c}$$

La primera desigualdad he probado ya, la segunda yo simplemente no puede obtener(por que es obvio es que puede ser).

La única cosa que se me permite utilizar es la definición de cardinalidad, el cantor-bernstein-teorema de schröder y el hecho de que: $$ k \leq p \wedge m \leq n \to k\cdot m \leq p \cdot n $$ (lo cual es útil a través de la definición de cardinalidad)

Cualquier ideas son bienvenidas!

Answer 1

$\mathfrak{c}\times\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = 1\times 2^{\aleph_0} \leq \aleph_0\times 2^{\aleph_0}$.

Para la igualdad de $2^{\aleph_0}\times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0}$, ten en cuenta que un par de funciones de $\aleph_0$ $\{0,1\}$es equivalente a una función de la inconexión de la unión de dos copias de $\aleph_0$$\{0,1\}$.

Desde $\aleph_0+\aleph_0$ es la cardinalidad de la inconexión de la unión de dos copias de $\aleph_0=\omega$, e $2^{\kappa}$ es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de$\kappa$$\{0,1\}$, el argumento de arriba parece para satisfacer sus necesidades.