He empezado a leer sobre álgebra universal, y ya tienes un problema (ver los dos puntos de bala en la parte inferior).
Mi libro da las siguientes definiciones (parafraseado):
Un tipo de operación es un par $ (\Omega,\alpha) $ donde $ \Omega $ es un conjunto de signos de operación y $\alpha$ es un 'arity' función que asigna a cada símbolo un número natural (incluyendo el 0).
Dado un tipo de operación $ (\Omega, \alpha) $ y un conjunto $A$, $ \Omega$- estructura en $A$ es una familia de funciones de $ (\omega_A | \omega \in \Omega) $ donde $ \omega_A : A^{\alpha(\omega)} \to A $ por cada $\omega \in \Omega$ es la interpretación del símbolo $\omega$ en la estructura de la $A$.
Un homomorphism $f : A \to B $ $\Omega$- estructuras es una función tal que $f(\omega_A(a_1,...,a_{\alpha(\omega)})) = \omega_B(f(a_1),..., f(a_{\alpha(\omega)}) $
Dado un conjunto $X$ de las variables y el tipo de operación de $\Omega$ ($X \cap \Omega = \emptyset $), el conjunto $ F_\Omega (X) $ $\Omega$- términos se define inductivamente:
a) Si $x \in X$, $x \in F_\Omega (X) $
b) Si $\omega \in \Omega$,$\alpha(\omega) = n$$t_1, t_2, ..., t_n \in F_\Omega(X) $,$\omega t_1 t_2 ... t_n \in F_\Omega(X) $.
Se establece el siguiente teorema:
i) $F_\Omega(X) $ $\Omega$- estructura
ii) $F_\Omega(X) $ es el $\Omega$-estructura generada por $X$
Ahora, mi problema es con la segunda parte de este teorema. Supongamos que tenemos una función de $f: X \to A$ donde $A$ algunos $\Omega$-estructura. Puedo ver que podemos definir un homomorphism $ \bar{f} $ tal que
si $ t = x \in X $, $\bar{f}(t) = f(x)$,
y si $ t = \omega t_1 t_1 ... t_n $,$ \bar{f}(t) = \omega_A(\bar{f}(t_1), ... , \bar{f}(t_n)) $.
Creo, pero no estoy 100% seguro, que como hemos definido el conjunto de $F_\Omega(X) $ inductivamente, todos los $\Omega$-términos están en $X$ o en el formulario de $ \omega t_1 ... t_n $ algunos $\omega, t_i$. Es esto correcto?
Puedo ver que esta $\bar{f}$ es un homomorphism, pero ¿por qué es el único homormorphism extender $f$? Traté de construir una singularidad argumento, pero en realidad no llegar a ninguna parte: supongamos que tenemos algunos homomorphism $g : F_\Omega (X) \to A $ tal que $g(x) = f(x) \ \forall x \in X $. Si $ t = \omega t_1 ... t_n $ algunos $ \omega \in \Omega $$ t_i \in F_\Omega (X) $,$ g(t) = g(\omega t_1 ... t_n) = g( \omega_{F_\Omega(X)} (t_1, ... , t_n) ) = \omega_A ( g(t_1), ... , g(t_n)) $. Entonces no estoy seguro de cómo terminar el argumento. He pensado acerca de la continuidad de esta idea en $g(t_1), ... g(t_n) $ inductivamente hasta que los argumentos contenidos en $X$, y, a continuación, utilice el hecho de que $ \bar{f}(x) = g(x) \ \forall x \in X$. Creo que debería ser más fácil que esto y pensar que me estoy perdiendo algo que es obvio.
Muchas gracias!
