La prueba de la generación de la función de $1 -2x +3x^2 -4x^3+5x^4-6x^5+\cdots$

Question

El ordinario de la generación de la función de la secuencia de $\{a_n\}_{n\geq0}$ donde $a_n = (-1)^n\,n$ es

$$1 -2x +3x^2 -4x^3+5x^4-6x^5+\cdots = \frac{1}{(x+1)^2}$$

Puedo ver desde la fórmula geométrica, e incluso de la división larga que

$$1 -x +x^2 -x^3+x^4-x^5+\cdots = \frac{1}{1+x}$$

pero yo no estoy viendo los coeficientes para explicar $\frac{1}{(x+1)^2}.$

Answer 1

$$S_n = 1 -2x +3x^2 -4x^3+5x^4-6x^5+\cdots$$ $$\implica xS_n = x - 2x^2 + 3x^3 -\cdots$$ $$(1+x)S_n=1-x+x^2-x^3\cdots=\frac{1}{1+x}$$

Answer 2

$$S=1 -x +x^2 -x^3+x^4-x^5+\cdots = \frac{1}{1+x}$$ Tomar la derivada $$S'=0 -1 +2x -3x^2+4x^3-5x^4+\cdots = \frac{-1}{(1+x)^2}$$ Multiplicar por $-1$ $$-S'=1 -2x +3x^2-4x^3+5x^4+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}$$ $$\sum_{k=0}(-1)^k(k+1)x^k = \frac{1}{(1+x)^2}$$

Answer 3

Solo por ser diferente.

$\dfrac1{1-x} =\sum_{n=0}^{\infty} x^n $.

Por lo tanto

$\begin{array}\\ \dfrac1{(1-x)^2} &=\sum_{n=0}^{\infty} x^n\sum_{m=0}^{\infty} x^m\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} x^{m+n}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{k} x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}\sum_{m=0}^{k}1\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1) x^{k}\\ \text{so}\\ \dfrac1{(1+x)^2} &=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(-1)^k x^{k}\\ \end{array} $