No he entendido bien que sin el Axioma de regularidad (también conocido como Axioma de la fundación): $$\forall x\left(x=\varnothing\ {\Large\lor}\ \exists y\left(y \in x\ {\Large\land}\ y \cap x = \varnothing\right)\right)$$ habría una posibilidad de que existan diferentes conjuntos de $p\ne q$ tal que $p=\{p\}$$q=\{q\}$, aparentemente tienen idéntica estructura $\{\{\{...\}\}\}$, pero todavía no descartó que por el Axioma de extensionality, debido a que tienen diferentes elementos $p\ne q$?
Respuesta
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Sí. Esto es consistente. Estos conjuntos ($x=\{x\}$) son a veces llamados Quine Átomos. Y de hecho si $x,y$ son dos diferentes Quine átomos, a continuación, $x\neq y$ porque $x\notin y$ $y\in y$ (y viceversa) testimonio de que.
De vuelta en la década de 1960 se pueden encontrar obras relacionadas con el axioma de elección, que utilizan aquellos que en lugar de urelements (átomos, que no son conjuntos) para la construcción de la permutación de los modelos.
Es decir, partimos de un conjunto de un determinado tamaño, cuyos elementos son todos diferentes Quine átomos, y construimos una de von Neumann-como la jerarquía de ese conjunto (reiterando conjuntos de poder), así que el modelo que tenemos es un modelo de $\sf ZFC-Fnd$, y con la habitual urelements construcciones podemos construir contraejemplos para el axioma de elección.
Los usuarios notables de esta técnica son Specker y Lauchli.
