Flujo gradiente de una superficie

Question

Encontré la siguiente definición en un libro (S. Osher, R. Fedkiw, "Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces", p. 140):

[el contexto es la reconstrucción de superficies a partir de conjuntos de puntos no organizados].

Sea $S$ denotan un conjunto de puntos en $\mathbb{R}^3$ y defina $d(x) = \mathrm{dist}(x, S)$ la distancia más corta entre $x$ y cualquiera de los puntos de $S$ . Consideremos la siguiente función de energía:

$$ E(\Gamma) = \left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^\frac{1}{p} \quad, \qquad 1 \le p \le \infty $$ en el que $\Gamma$ es una superficie y $ds$ es la superficie.

El autor da ahora una expresión para el flujo gradiente de este funcional energético:

$$ \frac{d\Gamma}{dt} = -\left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^{\frac{1}{p} - 1} d^{p-1}(x) \left[ \nabla d(x) \cdot N + \frac{1}{p}d(x)\kappa \right] N $$

En esto, $N$ es la normal de la superficie y $\kappa$ la curvatura media. También, $d(x) \kappa$ se denomina tensión superficial .

Ahora, me doy cuenta de que puedo estar un poco sobre mi cabeza aquí, pero realmente me gustaría saber cómo se derivó esta expresión ... por desgracia, el libro es un poco escueta en los fundamentos.

Mi opinión es que la ecuación subyacente es

$$ \frac{d\Gamma}{dt} = -\nabla_{\!F}\ E(\Gamma)$$

en el que $F$ es el espacio de las deformaciones, y $\nabla_{\!F}\ E(\Gamma)$ es el campo vectorial gradiente de $E$ . Parece que la derivación anterior aplica de algún modo la regla de la cadena a esta ecuación...

Tengo algo más de información, pero sinceramente no sé hasta qué punto es algo estándar. Agradecería que alguien me diera alguna pista de cómo llegar al resultado dado.

Answer 1

Su hipótesis sobre la aplicación de una regla algorítmica para derivar la ecuación del flujo gradiente es correcta. Para contextualizar esta pregunta, las fórmulas reportadas en el OP describen un interesante método no paramétrico para reconstruir superficies a partir de un conjunto de puntos no organizados $S$ . Esta cuestión tiene aplicaciones prácticas relevantes en una serie de escenarios en los que es necesaria la interpolación de puntos dispersos en tres dimensiones, como la imagen médica avanzada (por ejemplo, la reconstrucción de órganos en 3D a partir de datos en 2D en tomografía computarizada, resonancia magnética nuclear y, más recientemente, ecografía en 3D), el modelado ingenieril, los gráficos y la visión por ordenador, el escaneado en 3D, etcétera. Los enfoques utilizados en estos contextos pueden clasificarse en dos grandes grupos. En el primer grupo se incluyen los métodos paramétricos, en los que los puntos suelen conectarse mediante diagramas de Voronoi o triangulaciones de Delaunay para obtener una malla triangulada/tetraédrica que represente una incrustación topológica de un dominio de parámetros 2D en $\mathbb{R}^3$ . Sin embargo, estos métodos son difíciles de aplicar a topologías complejas. Otros métodos paramétricos se basan en ecuaciones diferenciales parciales, pero de nuevo requieren una parametrización global estricta difícil de formular para formas complejas. El segundo grupo incluye los métodos no paramétricos, que sustancialmente intentan identificar una función suave que aplicada al conjunto de interés se aproxime al conjunto cero. En otras palabras, una función escalar $f$ se define en una malla fija para generar una superficie implícita que se ajuste al conjunto de puntos normalmente en pasos progresivos, con la forma final representando un conjunto de niveles concreto de la función. Estos métodos tienen muchas ventajas sobre los paramétricos en términos de flexibilidad, información necesaria y capacidad para representar formas complejas. Pueden diferir en cuanto a la función $f$ y a la medida utilizada para cuantificar la proximidad durante la generación escalonada de la superficie final.

En el método no paramétrico propuesto por Osher y Fedkiw, la función $f$ es la función de distancia con signo dada por $d(x)= dist(x,S)$ definida como la distancia más corta entre el elemento $x$ de nuestra superficie en evolución y cualquiera de los puntos del conjunto $S$ . Por otra parte, como medida de proximidad, los Autores definen la "energía superficial" utilizando el siguiente funcional reportado en el OP

$$\displaystyle E(\Gamma) = \left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^\frac{1}{p} \quad, \qquad 1 \le p \le \infty $$

donde $\Gamma$ es una superficie arbitraria, y la energía se obtiene integrando la función distancia sobre todos los elementos $ds$ de la superficie. Tenga en cuenta que el parámetro $p$ se refieren a distintos tipos de distancias (por ejemplo, la distancia euclidiana, la llamada distancia Manhattan, etc.) que pueden emplearse en este método. En la mayoría de los casos, los valores de $p=1$ o $p=2$ suelen utilizarse. Nótese también que, desde un punto de vista estrictamente matemático, esta formulación es sustancialmente una variante del concepto de energía de Dirichlet, una conocida medida de variabilidad de funciones que para una función genérica $u(x)$ y una constante $1\leq q \leq \infty$ viene dada por

$$\displaystyle \int_{\Omega}|\nabla u (x)|^q dx$$ donde $\nabla u (x)$ es el campo vectorial gradiente de la función $u(x)$ .

Al igual que la integral de energía de Dirichlet se utiliza habitualmente en los análisis de optimización para encontrar un minimizador para unos valores de contorno dados, los Autores utilizan su definición de energía para encontrar un minimizador local y obtener progresivamente el modelo de superficie final mediante un proceso de deformación continua. En concreto, interpretan la superficie en evolución como una membrana elástica estirada alrededor de los puntos del conjunto $S$ y utilizar un método de descenso de gradiente para identificar el mejor equilibrio entre la energía potencial (distancia de los puntos de ajuste) y la energía elástica (superficie). Para ello, proponen la siguiente fórmula para calcular la variación de la energía superficial asociada a una pequeña perturbación:

$$\displaystyle\frac{dE(\Gamma)}{d\Gamma} =\frac{1}{p} \left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^{\frac{1}{p} - 1} \left[p d^{p-1}(x) \nabla d(x) \cdot N + d^p(x)\kappa \right]$$

La última ecuación subraya el concepto de que las variaciones de la energía superficial dependen de los cambios en las energías potencial y elástica, representadas por los dos términos entre corchetes, respectivamente. Para estimar el cambio en la energía potencial, los Autores calculan el producto de la derivada de la función de distancia ( $pd^{p-1}(x)$ ) a su campo vectorial gradiente $\nabla d(x)$ y la unidad normal $N$ (para la energía potencial, nos interesan claramente las distancias normales). Por otra parte, para estimar la variación de la energía elástica, toman prestado de la química física el concepto de tensión superficial. Se trata de una propiedad clásica de los líquidos que surge del desequilibrio de las fuerzas de cohesión molecular, como resultado del cual la superficie del líquido se comporta como una membrana elástica que tiende a resistir las fuerzas externas y desarrolla una fuerza hacia el interior destinada a minimizar la relación superficie/volumen. Las matemáticas que subyacen al fenómeno de la tensión superficial para los líquidos reales son bastante complejas, pero Osher y Fedkiw toman el concepto de minimización de la superficie y lo aplican a su superficie "elástica", suponiendo que las perturbaciones pueden provocar un cambio en el área de la superficie, y luego en la energía elástica, que es proporcional tanto a la distancia $d^p(x)$ y la curvatura $k$ . Aunque esta suposición puede ser conveniente desde un punto de vista computacional y bastante "intuitiva" (el área y la energía elástica de una "membrana estirada" que encierra un conjunto de puntos 3D aumentan si la deformamos con distancias mayores y curvaturas más evidentes, e inversamente disminuyen a distancias menores y curvaturas menores que se aproximan al "estado de reposo" de la membrana), hay que señalar que representa una simplificación considerable de la verdadera dinámica de la energía elástica. La definición de tensión superficial dada por los Autores a la cantidad $d(x)\kappa$ también puede ser algo engañosa, ya que para un gradiente de presión dado la tensión superficial "verdadera" de los líquidos $T$ está inversamente relacionada (y no directamente) con la curvatura media $H$ según la ley de Young-Laplace $\displaystyle T=\Delta P/(2H)$ .

A partir de la fórmula para el cálculo de las variaciones de energía superficial indicada anteriormente, se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange para este sistema:

$$ \displaystyle d^{p-1}(x) \left[p \nabla d(x) \cdot N + d(x)\kappa \right]=0$$

El LHS corresponde a la cantidad entre corchetes de la ecuación anterior, con $ d^{p-1}(x)$ fuera de los corchetes. La solución de esta ecuación diferencial requiere un análisis de EDP bastante complejo, pero garantiza un equilibrio entre las energías potencial y elástica, que es la condición fundamental para un estado estacionario. El primer término $p \nabla d(x) \cdot N$ minimiza la energía potencial y acerca la superficie al conjunto $S$ mientras que el segundo término $d(x)\kappa$ (la "tensión superficial" mencionada anteriormente) minimiza la energía elástica y la superficie, haciendo que la superficie sea rígida a distancias/curvaturas mayores y más flexible a distancias/curvaturas menores.

Basándose en todas las consideraciones anteriores, Osher y Fedkiw utilizan finalmente el conocido método de descenso de gradiente para generar una deformación progresiva y continua de la superficie hacia la forma final. El método de descenso de gradiente es una técnica comúnmente utilizada para encontrar un mínimo local de una función, en la que se parte de una estimación inicial de la solución, se calcula el gradiente de la función en ese punto, se da un paso en la dirección negativa del gradiente y se repite el proceso hasta alcanzar el mínimo. Esto se basa en la evidencia de que una función multivariable diferenciable $f(x)$ disminuye de forma más rápida si damos un paso en la dirección de su gradiente negativo, es decir, moviéndonos desde un punto $ x=a$ al grano $x=b=a-\alpha\nabla f(x)$ donde $\alpha$ es un factor predefinido que afecta a las magnitudes de los pasos, y $-\nabla f(x)$ es el gradiente negativo de $f(x)$ . Iterar la secuencia $x_{n+1}=x_n-\alpha \nabla f(x)$ obtenemos $f(x_{n+1}) \leq f(x_n)$ para que la secuencia converja hacia el mínimo. Para poner un ejemplo sencillo para una función univariable: considerando la función $y=x^2-2x+5$ y un factor de paso $\alpha=0.1$ podemos empezar con una estimación inicial de $x_1=3$ (correspondiente a $y_1=8$ ), calcular el valor negativo de la derivada en este punto ( $-y'=-(2x-2)$ Así que $-y'(3)=-4$ ), y obtener el siguiente valor $x_2=3-4\cdot0.1=2.6$ que corresponde a $y_2=6.56$ y está más cerca del verdadero mínimo dado por $x=1$ y $y=4$ . Para aplicar este método al problema de reconstrucción de superficies, los Autores parten de una superficie inicial que encierra todos los puntos del conjunto $S$ y, a continuación, obtener deformaciones progresivas de la superficie siguiendo el descenso de gradiente del funcional de energía. En este procedimiento, en el que las sucesivas deformaciones de la superficie se capturan mediante el denominado método de los conjuntos de niveles (una técnica frecuentemente adoptada en el tratamiento de imágenes, especialmente útil para las interfaces en movimiento), definen como "flujo de gradiente" la variación progresiva resultante de la energía de la superficie. Ésta viene dada por

$$\displaystyle \frac{dE(\Gamma)}{dt} =-\frac{1}{p} \left[\int_\Gamma d^p(x) ds\right]^{\frac{1}{p} - 1} [ \nabla d^p(x)\cdot N] N$$

que, teniendo en cuenta las expresiones anteriores dadas para $\frac{dE(\Gamma)}{d\Gamma}$ y la ecuación de Euler-Lagrange, puede escribirse como

$$\displaystyle \frac{dE(\Gamma)}{dt} =-\frac{1}{p} \left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^{\frac{1}{p} - 1}\left[p d^{p-1}(x) \nabla d(x) \cdot N + d^p(x)\kappa \right] N$$

y luego

$$\displaystyle \frac{d\Gamma}{dt} = -\left[ \int_\Gamma d^p(x)\ ds \right]^{\frac{1}{p} - 1} d^{p-1}(x) \left[ \nabla d(x) \cdot N + \frac{1}{p}d(x)\kappa \right] N $$

que es la ecuación reportada en el PO, y donde el minimizador o solución "estacionaria" viene dada por la ecuación de Euler-Lagrange. Nótese que aquí el concepto de "flujo" y el uso de $dt$ se refieren simplemente a las variaciones de energía a lo largo de los sucesivos pasos temporales de generación de superficie. Obsérvese también el signo menos, que refleja la aplicación del método de descenso de gradiente y la disminución progresiva de la energía superficial.

Como comentario final, cabe destacar de nuevo que el método propuesto por Osher y Fedkiw es sólo uno de los varios métodos disponibles para la reconstrucción de superficies a partir de conjuntos de datos no organizados. Aunque puede mostrar varias ventajas en términos de flexibilidad, idoneidad para topologías complejas, suavidad de los resultados y eficiencia del algoritmo numérico, también tiene algunas limitaciones (por ejemplo, dependencia crítica de la elección de la superficie inicial, riesgo de colapso, menor eficiencia computacional del método de descenso de gradiente en regiones de "valle").