Estoy interesado en la ecuación funcional $$f(r \cos \phi)+f(r\sin \phi)=f(r),\qquad r\geq 0,\ \ \phi\in[0,\pi/2].$$ Supongamos que $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ es monótono. Claramente, $f(x)=ax^2$ es una solución. Hay otras soluciones?
Respuesta
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Las funciones de $x\rightarrow ax^2$ son los únicos continua de soluciones en el hecho de :
Deje $f$ ser distinto de cero de la solución de la ecuación.
Esto significa que en coordenadas cartesianas $f(x)+f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$ todos los $x,y\geq 0$.
Deje $g(x)=f(\sqrt x)$. Tenemos para todos los $x,y\geq 0$ : $$g(x^2)+g(y^2)=g(x^2+y^2)$$
Un clásico de resultados estados que $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continua tal que $\phi(x)+\phi(y)=\phi(x+y)$ es de la forma $\phi(x)=ax$.
Lo mismo vale si $\phi$ es continuo a partir de $\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}$, $\phi$ con la misma propiedad.
Entonces existe $a\in\mathbb{R}$ tal que $g(x)=ax$.
De esta manera se consigue $f(x)=g(x^2)=ax^2$.
