Necesito calcular la siguiente integral real utilizando números complejos. No estoy seguro de cómo manejar el numerador para que los cálculos subsiguientes no se vuelvan demasiado engorrosos.
$\int_{0}^{2\pi} \frac{ \cos n\theta}{\cos(\theta)-a} d\theta$ Gracias.
Dejemos que $I(a)$ sea dada por
$$I(a)=\int_0^{2\pi} \frac{\cos (n\theta)}{cos \theta -a}\,d\theta$$
Utilizando la fórmula de Euler, podemos escribir $I(a)$ como
$$I(a)=\text{Re}\left(\int_0^{2\pi} \frac{e^{in\theta}}{cos \theta -a}\,d\theta\right) \tag 1$$
Ahora, dejando $z=e^{i\theta}$ en $(1)$ revela
$$\begin{align} I(a)&=\text{Re}\left(-2i\oint_{|z|=1}\frac{z^n}{z^2-2az+1}\,dz\right)\\\\ &=4\pi \text{Res}\left(\frac{z^n}{z^2-2az+1},z=a-\sqrt{a^2-1}\right)\\\\ &=-2\pi \frac{\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)^n}{\sqrt{a^2-1}} \end{align}$$
La integral de contorno equivalente es
$$-i \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^n} \frac{z^{2 n}+1}{z^2-2 a z+1} $$
Hay dos polos dentro de este círculo de la unidad: $z=0$ y $z=a-\sqrt{a^2-1}$ . Anotemos primero el residuo en $z=a=\sqrt{a^2-1}$ que el lector debería ser capaz de demostrar (el polo es simple) que es
$$\frac{i}{2\sqrt{a^2-1}} \left [\left (a+\sqrt{a^2-1}\right )^n +\left (a-\sqrt{a^2-1}\right )^n \right ]$$
El cálculo del residuo en el polo en $z=0$ es obviamente más complicado. Sin embargo, en lugar de intentar evaluar un $n-1$ de la función racional en el integrando, tendremos mejor suerte expandiendo el denominador para pequeñas $z$ y localizar el coeficiente de $z^{n-1}$ . Tenga en cuenta que
$$\frac1{z^2-2 a z+1} = \sum_{k=0}^{\infty} U_k(a) z^k$$
donde $U_k$ es un polinomio de Chebyshev de segundo tipo. En este caso, como $a \gt 1$ tenemos que el residuo en este caso es
$$-i U_{n-1}(a) = -i \frac{\sinh{(n \operatorname{arccosh}{a})}}{\sinh{( \operatorname{arccosh}{a})}} = -\frac{i}{2\sqrt{a^2-1}}\left [\left (a+\sqrt{a^2-1}\right )^n -\left (a-\sqrt{a^2-1}\right )^n \right ]$$
La integral es entonces $i 2 \pi$ veces la suma de estos residuos. Podemos entonces escribir
$$\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{\cos{n \theta}}{a-\cos{\theta}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2-1}}\left (a-\sqrt{a^2-1}\right )^n$$
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