Es esta ecuación diferencial solución cuando no puedo separar las variables?

Question

Supongamos $(x+y+1)^2 \frac{dy}{dx}+(x+y+1)^2+x^3=0$. ¿Cómo puedo expresar x en términos de y?

Mis pensamientos:

1. Yo no creo que haya una manera correcta de separar las variables, especialmente una vez que ampliar los términos.

2. Así que tratar de trabajar a través de sin ampliar. Puedo intentar dividir toda la ecuación por $(x+y+1)^2$, y puede que me dé un limpiador de expresión, pero todavía no puedo separar la x de la y.

No les parece que hay una manera de separar la x de la y, por lo que es solucionable?

Answer 1

Esta ODA tiene la forma: $M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0$, que es el momento propicio para la aplicación exacta de las ecuaciones diferenciales debido a $M_y = N_x = 2(1+x+y)$. Por esta teoría, vamos a

$\Psi_x = M(x,y)$ $\Psi_y = N(x,y)$ . Entonces, la educación a distancia puede ser escrita en la forma:

$\frac{d}{dx} \left[\Psi(x,y(x))\right]$ =0.

Comenzando con la primera ecuación de (no importa cual), tenemos que:

$\Psi_x = M(x,y) = (x+y+1)^2 + x^3$, integrando obtenemos:

$\Psi(x,y) = \frac{x^4}{4}+\frac{1}{3} (x+y+1)^3 + h(y)$.

Ahora diferenciarse con respecto a $y$, obtenemos:

$\Psi_y = (1+x+y)^2 + h'(y)$,

pero esto debe ser igual a N(x,y):

$\Psi_y = N(x,y) = (1+x+y)^2 + h'(y) = (1+x+y)^2$,

lo que implica que $h'(y) = 0$, lo que significa que $h(y) = k$ donde $k \in \mathbb{R}$ es una constante.

Por lo tanto, nuestra solución es evidentemente:

$\Psi(x,y) = c$,

o

$x^4/4 + 1/3 (1 + x + y)^3 + k = c$

o por la absorción de la constante a una constante:

$\frac{x^4}{4} + \frac{1}{3} (1 + x + y)^3 = c$.

Answer 2

Deje $u=x+y+1$) y la ecuación tranforms a \begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= - \frac{x^3}{u^2}. \end{eqnarray*}