@whuber la generación de la norma limitado de Gauss vectores - Aclaración

Question

CrossValidated usuario @whuber anterior ha respondido en: https://stats.stackexchange.com/a/158008/160034 con un limpio y rápido método que genera una norma limitados multivariante de Gauss. Es tan solo tres pasos:

1. Generar $X \sim \mathcal{N}(0,\mathbb{I}_n)$. ($n$ estándar normal de los elementos)

2. Generar $P$ como la raíz cuadrada de un $\chi^2(d)$ distribución truncada en $(a/\sigma)^2$. (Puede usar CDF-inversión donde: $a$ es la norma de restricción, $\sigma$ es la costumbre sexual, la desviación de la distribución normal en cuestión)

3. Deje $Y = \sigma P\, X/||X||$ ==> la norma deseada limitados multivariante de Gauss.

Mi pregunta es en relación a eso, y va más grandes que un comentario como el siguiente. (por lo tanto, esta pregunta por separado)

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@whuber la respuesta es realmente emocionante y apela a la intuición. Pero no me parece del todo convincente. He de decir que el núcleo de @whuber la idea es la descomposición

$$\begin{align} X &= \left(\frac{X}{||X||}\right) \cdot \Big( ||X|| \Big) \\[2mm] &= A \cdot B \end{align}$$

y, a continuación, para generar el producto de dos términos por separado. Tengo aprensiones acerca de este enfoque como no he podido encontrar respuestas a las preguntas a continuación.

Pregunta-1: Se $A$ $B$ independiente?

$||X||^2 = P^2 = \rho$ sin duda $\chi^2$ distribuido bajo sin restricciones de la norma, y CDF-inversión método puede ser utilizado eficientemente para generar la limitación de la versión.

Pero después de la generación de $P$, es independiente de $\frac{X}{||X||}$ ?

Única sugerencia es que no sucede en 2D caso y este concepto es ampliamente utilizado como base para polares sistema de coordenadas. Para dimensiones superiores, no tengo conocimiento de ninguna extensión.

Pregunta 2: ¿el producto final vector siga la distribución Gaussiana con la norma de restricción?

Bueno, vamos a decir $A$ $B$ son independientes. ¿Cómo podemos estar seguros de que el producto $AB$ generados como por @whuber la sugerencia sigue siendo un multivariante de Gauss?

Al principio, los vectores son simplemente complicado norma-estándar normalizada de Gauss vectores (cuya distribución es desconocida) escala por otro aleatorio constante distribuidos de la truncado-$\chi$. El resultado es realmente una forma mucho más simple norma limitados multivariante de Gauss?

Answer 1

Para la Pregunta 1 (independencia): En la generación de lado, esto es una consecuencia directa del hecho de que el paso 2 no utiliza la información del paso 1. Por otro lado, esto sigue porque tiene un esféricamente simétricas multivariante de Gauss: sabiendo que el ángulo (es decir, la orientación, el vector unitario) dio ninguna información en la radio, no sería esféricamente simétrica, no?

Para la Pregunta 2, no estoy seguro de cuál es su incertidumbre. Si aceptamos que los dos componentes son independientes, entonces la única pregunta que queda es si tienen la correcta marginales. Para la orientación, que tiene una "esférica Gaussiana orientación" marginal por la construcción. Truncar la norma no va a cambiar esto, ya que la Gaussiana de la orientación y la norma son independientes. La marginal de la onu truncada a la norma le siguen una $\chi_n$ distribución. ¿Tiene sentido que el producto de estas daría un no-Gaussiano truncado?