Sea $\xi=x-ct$ . Además, dejemos que $U(\xi)$ sea una solución de onda viajera de una EDP. Supongamos que $U(\xi,t)$ es una solución de una EDP.
La onda viajera $U(\xi)$ se denomina estable (con respecto a la EDP) si existe una vecindad $N$ de la misma, tal que para una solución $U(\xi,t)$ cuyo valor inicial $U(\xi,0)$ está dentro de $N$ existe alguna $k\in\mathbb{R}$ tal que $$ \lVert U(\xi,t)-U(\xi+k)\rVert\to 0~\text{ as }t\to+\infty. $$
En otras palabras, una onda viajera $U(\xi)$ es estable, si cada solución cuyos valores iniciales estén suficientemente próximos a ella (en alguna norma), converge a una onda viajera trasladada $U(\cdot +k)$ como $t\to +\infty$ .
Me pregunto un poco por qué esto refleja un comportamiento estable de $U(\xi)$ ya que la onda viajera trasladada $U(\cdot +k)$ puede estar muy lejos de $U(\xi)$ ¿o no? Tal vez esto no es posible debido a la estructura de la onda, es decir, después de algún tiempo hay el siguiente "máximo" (cuando la onda está empezando de nuevo) y así tal vez la definición nos dice que, efectivamente, esto significa que la solución estará cerca de $U(\xi)$ como $t\to\infty$ si está cerca de alguna traducción de la misma. ¿Es esta la razón por la que es un comportamiento estable?
En otras palabras: Si pienso en una forma de onda típica, entonces, cuando una solución comienza cerca de una onda y luego, como $t\to\infty$ está cerca de alguna traslación de la onda, esto implica que está en algún lugar entre los "máximos" de la onda, por lo que está bastante cerca de la onda original de nuevo?
Pero, ¿qué ocurre si dos máximos de la onda están muy alejados entre sí? Entonces, ¿estar cerca de alguna traslación de la onda no tiene por qué significar estar cerca de la onda original? Tal vez mi intuición sea errónea.
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Supongo que se trata de ondas no lineales como los solitones, que pueden converger a formas estables con relaciones muy estructuradas entre amplitud de pico, pico con y velocidad de onda. Entonces una pequeña perturbación podría cambiar la fase, la ubicación, pero todavía convergen a la misma forma y velocidad.
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El trasfondo de mi pregunta es FitzHugh-Nagumo, es decir, la propagación en las neuronas, si esto ayuda.
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Sólo estoy pensando en la situación si la ola se supone que es en algún barrio pequeño. A continuación, se traduce de ella debe estar en este pequeño barrio, también. Así que si una solución de empezar cerca de la onda y, a continuación, como $t\to +\infty$ , está cerca de alguna traslación de esta onda, debería estar de nuevo en la vecindad y así cerca de la onda original. ¿Es esta una situación para pensar?