demostrar que $2^{15} - 2^3 $ divide $ a^{15} - a^3$

Question

Demostrar que $$2^{15} - 2^3 $$ divides $$ a^{15} - a^3$$ for any integer $$. Sugerencia: $$ 2^{15} - 2^3 = 5\cdot7\cdot8\cdot9\cdot13$$

Answer 1

Sugerencia: Si $13|a$, $13$ divide $a(a^{14}-a^2)=a^{15}-a^3$. De lo contrario, por el teorema de Euler, $13$ divide $a^{12}-a^0$, por lo tanto también es $a^3(a^{12}-a^0)=a^{15}-a^3$.

Answer 2

Sugerencia: El uso de Fermat o de Euler teorema a demostrar que

$a^{15}-a^{3}$ es congruente a 0 mod 5, 7, 8, 9 y 13, respectivamente.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Si $\,3\mid a\,$ $\,3^2\mid a^3\mid a^3(a^{12}-1).\,$ Else $\,a\,$ es coprime a $\,3\,$ $\,\phi(3^2) = \color{#c00}6,\,$ por Euler, $\,{\rm mod}\ 3^2\!:\ a^{\color{#c00}{6}}\equiv1\,\overset{\rm square}\Rightarrow\,a^{12}\equiv 1^2\equiv 1.\,$ por lo Tanto $\, 3^2\mid a^3(a^{12}-1)\,$ todos los $\,a\in\Bbb Z.$

La misma idea funciona para todos los otros factores de $\,p^n$ desde $\,n\le 3\,$ $\,p\mid a\Rightarrow p^n\mid a^3;$ lo contrario $\,a\,$ es coprime a $\,p,$ por Euler $\,p^n\mid a^{12}-1\,$ desde $\,\phi(p^n)\mid 12\,$ en todos los casos. Por lo tanto, en general

Teorema $ \!\!\!\!\! \underbrace{\,p_1^{n_1}\cdots p_j^{n_j}}_{\large p_i\, \rm distinct\ primes\ \ \ }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mid a^n(a^\phi-1)\ $ todos los $\,a\,$ al $ $ $\,n_i\le n\,$ y todos los $\,\phi(p^{n_i})\mid \phi\,$

Answer 4

Aplicar Carmichael función,

para encontrar $\lambda(8)=2,\lambda(5)=\phi(5)=4, \lambda(9)=\phi(9)=6$ etc.

Entonces, para $9, F=a^{15}-a^3=a^3(a^{12}-1)=a^3(a^6-1)(a^6+1)$

Como $3$ es primo, el éter $(i)\ 3|a\implies 3^3|F$ o $(ii)\ (3,a)=1\implies 9|(a^6-1)$

Para $8, F=a^{15}-a^3=a^3(a^{12}-1)$

Como $2$ es primo, el éter $(i)\ 2|a\implies 2^3|F$ o $(ii)\ (2,a)=1\implies 8|(a^2-1)$

Para $5, F=a^{15}-a^3=a^3(a^{12}-1)=a^3\{(a^4)^3-1\}=a^3(a^4-1)(a^8+a^4+1)$

Como $5$ es primo, el éter $(i)\ 5|a\implies 5|F$ o $(ii)\ (5,a)=1\implies 5|(a^4-1)$

Asimismo, para $7,13$

Answer 5

Utilizar la pista. Mostrar que 5,7,8,9 y 13 dividir cualquier $a^{15}-a^3$. También, la factorización de $a^{15}-a^3$$a^3(a^{12}-1)$. Si $a$ es divisible por cualquier miembro de $\{5,7,8,9,13\}$, $a^{15}-a^3$ es también divisible por dicho número. Si no, entonces por Fermat poco teorema de $$a^p-1 \equiv 0\mod p$$ for the primes in the set. Then show that $a^p-1$ divides $un^{12}-1$. Now for $8$ and $9$, tendrás que ir a la manera más tradicional, pero son fáciles de demostrar.