Anillos' segundo teorema de isomorfismo

Question

Estoy pensando en la prueba del segundo teorema de isomorfismo, y algo que no está muy claro para mí.

Deje $R$ ser un anillo ,$S\subset R$ un sub-anillo y $I\subset R$ un ideal. Tenemos la natural homomorphism $f:R\rightarrow R/I$. El teorema establece que $Im(S)=S+I/I$. Mi pregunta es ¿por qué no simplemente $Im(S)=S/I$?

Entiendo que no es cierto (para empezar, $S/I$ no se necesita ser un sub-anillo), pero no puedo explicar que a mi ser de una manera convincente.

Answer 1

Así se definen $f : R \to R/I$$f(r) = r+I$. Entonces $$f(S) = \{ s+I\, :\, s \in S \}$$ Es tentador decir que esto es sólo $S/I$, pero que implícitamente asume que las $I \subseteq S$. Sin embargo, esto no puede ser verdad: un ideal de un anillo no está necesariamente contenida en todos los subrings del anillo.

Pero la llamaban $(S+I)/I$ se ocupa de este tema, porque ciertamente tenemos $I \subseteq S+I$ (debido a $0_R \in S$), y $S+I$ es un sub-anillo de $R$ (como [generalmente] se muestra en la prueba).

Es decir, el problema no es algo como '$S/I$ no ser un sub-anillo' como usted sugiere, sino que la notación $S/I$ no tiene ningún sentido!