Búsqueda de $a \in \mathbb{Z}$ tal que $\alpha \equiv a \pmod{\mathfrak{p}}$

Question

Deje $\mathcal{O}$ ser el anillo de enteros de un campo de número, deje $\mathfrak{p}$ ser un primer ideal de $\mathcal{O}$, y deje $\alpha$ ser un elemento de $\mathcal{O}$. Siempre es posible encontrar un número entero $a$ tal que $\alpha \equiv a \pmod{\mathfrak{p}}$? Si es así, ¿cómo se puede encontrar?

Gracias.

EDIT: se supone que el grado de inercia de $\mathfrak{p}$ es 1. Gerry Myerson ha demostrado que la respuesta a mi pregunta no es si esto no se asume.

EDIT: Si el grado de inercia de $\mathfrak{p}$ 1,$\mathcal{O} / \mathfrak{p} = \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$, y la pregunta es trivial.

Answer 1

No siempre es posible. En los enteros de Gauss, vamos a $I=(3)$. No hay ningún número entero congruente a $i$.