La construcción de los Subgrupos de $S_n$ de un Tamaño Determinado

Question

Estoy interesado en la construcción de un subgrupo de $S_n$ de tamaño del orden de $\Theta(\sqrt{n!})$. El algoritmo para la construcción de un subgrupo idealmente debe también tomar alrededor de $O(\sqrt{n!})$ del tiempo.

Una solución simple es elegir sólo $S_k$, $k < n$ tal que $k!$ es de alrededor de $\sqrt{n!}$. No se garantiza que sea un $k$ tal que $\sqrt{n!} \leq k! \leq n \sqrt{n!}$ sólo por un simple recuento de argumento. Sin embargo, me pregunto si no es completamente distinta a la idea de que se podía construir un subgrupo para cualquier arbitrario $S_n$ que está bien de tamaño $\Theta(\sqrt{n!})$.

Cualquier material de referencia, tales como libros de texto o los papeles se agradece.

Answer 1

Creo que una razonable candidato es el centralizador, $H$ decir, de un producto de $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ discontinuo $2$-ciclos. Este subgrupo tiene un pedido de $2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \lfloor \frac{n}{2} \rfloor!$. Stirling's formula shows that $\frac{|S_{n}|}{|H|^{2}}$ is relatively small. It's also possible to use character theory to obtain the crude estimate $|H| \geq \sqrt{\frac{n!}{p(n)}}$, where $p(n)$ is the number of partititions of $n,$ and it is well-known that $p(n) \sim e^{c\sqrt{n}}$ .