Eversión de la esfera y teorema de Smale-Hirsch

Question

Para dos colectores $M^m$ y $N^n$ con $m<n$ el teorema de Smale-Hirsch dice que el mapa diferencial $d:\operatorname{Imm}(M,N)\to\operatorname{Mon}(TM,TN)$ es una equivalencia débil de homotopía, donde $\operatorname{Imm}(M,N)$ es el espacio de inmersión de $M$ a $N$ con el compacto-abierto $C^{\infty}$ topología y $\operatorname{Mon}(TM,TN)$ es el espacio de los mapas de haces vectoriales que son monomorfismos en sus fibras desde el haz tangente $TM$ de $M$ a $TN$ . ¿Cómo es que esto implica ahora que hay una homotopía regular de $\operatorname{id}:S^2\to\mathbb{R}^3$ a $-\operatorname{id}:S^2\to\mathbb{R}^3$ ? El artículo original de Smale menciona el uso del colector de Stiefel $V_{3,2}$ a través de $\pi_2(V_{3,2})$ pero no consigo averiguar cómo ponerlo en juego con la formulación moderna del teorema de Smale-Hirsch. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Quien tenga una leve curiosidad también puede ver esta película de una eversión tan explícita: http://www.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk

EDIT: O podría alguien simplemente explicarme por qué $\operatorname{Mon}(TS^2,T\mathbb{R}^3)$ ¿está conectado a la ruta? Esto debe ser cierto ya que Smale afirma que todas las inmersiones $S^2\to\mathbb{R}^3$ son regularmente homotópicas.

Answer 1

El espacio de los mapas $\operatorname{Mon}(TS^2,T\mathbb{R}^3)$ se proyecta al espacio de los mapas $\operatorname{Map}(S^2,\mathbb{R}^3)$ olvidando los mapas de la fibra (es decir, restringiendo a las secciones cero). La fibra sobre un mapa $u$ son entonces los monomorfismos de $TS^2$ a $u^* T \mathbb{R}^3$ . Se trata de una fibración localmente trivial con base contráctil (al contraerse a un mapa constante en $0$ ), por lo que es un producto. Por lo tanto, es homotópicamente equivalente a la fibra. Para calcular la fibra, tomemos $u={\rm const}$ . Obtenga mapas de $T S^2$ a lo trivial $\mathbb{R}^3$ haz de la mano sobre $S^2$ que es lo mismo que los mapas $T S^2$ a $\mathbb{R}^3$ monomorfo en las fibras.

Este es el espacio de secciones de una fibración localmente trivial sobre $S^2$ con la fibra de la variedad de Stiefel no compacta de todos los 2 marcos en $\mathbb{R}^3$ (elija una trivialización local en $T S^2$ y ver que en ese gráfico trivializador sólo se necesita un cuadro de 2 en más de cada punto). Esta es la fibración asociada a $T S^2$ por lo que viene dada por la función de embrague y como el embrague es el doble de la generatriz de $\pi_1 (V_{3,2})$ y por tanto es trivial, la fibración es trivial. Esto significa que el espacio de secciones es sólo mapas $S^2$ a la fibra, que por Gram-Schmidt se retrae a $V_{2,3}$ . Por lo tanto, $\pi_0$ es $\pi_2(V_{2,3})=0$ como se quiera.

Tal vez otra forma de reemplazar/reformular ese último párrafo, es señalar que $T S^2$ se sienta en el trival $\mathbb{R}^3$ haz de la mano sobre $S^2$ como en $T S^2 \oplus \nu = {\rm trivial}$ y dadas las orientaciones de todo (que estamos asumiendo implícitamente, en realidad), un monomorfismo se extiende de forma única a un mapa de la $\mathbb{R}^3$ -fibra a $\mathbb{R}^3$ donde el vector en $\nu$ es la normal unitaria a la imagen del monomorfismo original. El espacio de tales mapas es un subconjunto de matrices de 3 por 3, y un Gram-Schmidt parcial dice que el espacio de todas las matrices invertibles se retrae a él. El mismo argumento en el $S^2$ dice que la fibra es equivalente en homotopía al espacio de mapas de $S^2$ a $GL(3)$ que es, de nuevo, por homotopía de Gram-Schmidt, equivalente a los mapas de $S^2$ a $SO(3)$ . Esto da la misma conclusión...

Además, la eversión se hace en el libro de Eliashberg-Mashchev sobre el principio h, en la sección 4.2.