Topología de Secuencia Divergente

Question

Deje $a_n$ ser una secuencia de números reales y definir el "Cesàro límite" de $a_n$

$C \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_n} = \lim\limits_{N\rightarrow\infty}{\frac{1}{N}} \sum\limits_{n=1}^{N}{a_n}$.

Me gustaría dar a $\mathbb{R}$ una topología que da lugar a este modo de convergencia. Sin embargo, si tomamos el cierre de un conjunto como el conjunto de todos los límites de los puntos de dicho conjunto (es decir, $Cl(S)$ es el conjunto de números reales que son Cesàro límites de secuencias de números en $S$), entonces es claro para mí que $Cl(S)$ el (cierre) el casco convexo de $S$. Esto asegura que este cierre operador no puede venir de una topología, ya que $Cl(S\cup T) \neq Cl(S)\cup Cl(T)$ siempre $Cl(S)\cup Cl(T)$ no está conectado.

Mi pregunta es, entonces, este. Hay una generalización de la "topología" que permitiría tal cosa? Hay algo útil que puede ser adquirida a partir de esta definición?

Answer 1

La razón por la que Cesaro significa que no surgen de una topología es que no son locales. Aquí está una rigurosa instrucción y prueba.

La única topología en $\mathbb R$ para que el Cesaro decir es un punto límite de cada Cesaro-convergencia de la secuencia es la topología indiscreta.

Prueba:

Deje $U$ ser un no-vacío conjunto abierto en la topología. Elija $x\in U$. Para cualquier $y\in\mathbb R$, considere la secuencia $$ \{x+y,x-y,x+y,x-y,\cdots\} $$ Esta secuencia es Cesaro-convergente a $x$. Por lo tanto $U$ debe contener una cola de la secuencia. Descartando cualquier número finito de términos nos deja todavía con $x-y,x+y\in U$. Desde $y$ es arbitrario, se deduce que el $U=\mathbb R$. Por lo tanto el único que no está vacía conjunto abierto es $\mathbb R$, lo que significa que la topología es determinada por la topología indiscreta: $\{\varnothing,\mathbb R\}$.

---

Respecto útil generalizaciones:

Cesaro medios son útiles en el análisis, específicamente en espacios vectoriales topológicos. Hablando de manera realista, no es rentable para pensar en ellos en términos de una topología. Hay una manera mucho más general de la noción de la topología utilizada en algebraicas configuración se llama una topología de Grothendieck. Incluso si usted puede cocinar un adecuado Grothendieck topología, yo no imaginamos ser útil, ya que las herramientas de la categoría de la teoría no juegan bien con el analítico de los argumentos que Cesaro significa surgir.