No hay GLM (no natural exponencial modelo de familia) que corresponde a la L1 (el de menor valor absoluto) de regresión.*
Tenga en cuenta que si usted está haciendo MLE, a continuación, una densidad de forma $\frac{c}{\phi}\exp(-g(\frac{y-\mathbf{x}\beta}{\phi}))$ tienen la log-verosimilitud $-n\log(\phi)-\sum_i g(\frac{y_i-\mathbf{x}_i\beta}{\phi})$.
Ahora la maximización de la probabilidad con respecto a los parámetros de $\beta$ correspondería a minimizar $\sum_i g(\frac{y_i-\mathbf{x}_i\beta}{\phi})$.
Así que si usted está tratando de minimizar $\frac{1}{\phi}\sum_i |y_i-\mathbf{x}_i\beta|=\sum_i |\frac{y_i-\mathbf{x}_i\beta}{\phi}| $... la forma de $g$ y, por tanto, de la densidad de los errores que este será ML deben ser inmediatamente obvio, es la de Laplace.
Es útil y robusto en el sentido de que minimiza el efecto de los valores atípicos en la variable de respuesta en el amueblada línea
Que no proporciona ninguna protección contra influyentes observaciones, y por lo tanto no en todos los robustos a los valores atípicos influyentes, como se ilustra aquí.
Yo también no creo que sea muy correcto decir que minimiza el efecto; (ignorando el punto anterior acerca de la influyente observaciones -- por ejemplo, si sólo nos fijamos en ubicación, en vez de regresión) límites que el efecto muy bien pero si usted aprende acerca de la influencia de las funciones y los M-estimadores verás que hay con estimadores de influencia de las funciones que redescend (que L1 estimadores no), así que hay estimadores de la ubicación donde los valores atípicos tienen incluso menos efecto que sobre la mediana.
* Dejando a un lado la escala de la$^\dagger$ por simplicidad, simplemente no se puede escribir $\sum_i |y_i-\mathbf{x}_i\beta|$ en la forma $\sum_i -\eta(\beta)\cdot T(y_i) +A(\beta)-B(y_i)$ - la función valor absoluto no se rompe así.
$\dagger$ Si sólo tuviéramos la escala de estimación, que iba a ser exponencial de la familia.
