* Simplemente conectado.

Question

Para conectarse $n$-colector $M\subseteq\Bbb{R}^k$, quiero mostrar que la $M$ es orientable.

Tomar un punto de $p\in M$ y tomar una $n$-disco, $D^n$, en torno a $p$ (que podemos tomar es tan pequeño como queramos). Desde $S^{n-1}$ es orientable y $M$ (y, en consecuencia,$TM$) se conecta simplemente, el mapa de orientación $S^{n-1}\to TM$ puede ser extendido a $D^n\to TM$. Así que alrededor de cada punto hay un disco. Podemos construir un atlas (orientación) de estos.

¿Esto basta para demostrar que el reclamo?

Answer 1

Deje $M$ ser conectado a un no-orientable colector de dimensión $n$ y deje $M^*$ ser su orientadas a la doble cobertura. Por general sobre el espacio de la teoría, hay una breve secuencia exacta $$0\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\pi_1(M^*)\stackrel{p_\#}{\to}\pi_1(M)\to 0$$ and so if $\pi_1(M)$ is trivial, then $\pi_1(M^*)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ but $p_\$ is injective which is a contradiction. It follows that $%\pi_1(M)$ no es trivial.

Answer 2

Aquí es una manera de argumentar. Una orientación de un suave $n$-colector es un lugar de fuga de la sección de $\Lambda^n M$ (es decir, una forma de volumen). Esta es una línea real bundle $L\to M$. Poner una métrica de Riemann en $M$. Esto define una métrica en $L$. La construcción de un lugar de fuga de la sección de este paquete es el mismo como la construcción de una sección de la unidad de la esfera bundle $U\to M$ $L$ (unidad de esfera en ${\mathbb R}$ es, por supuesto, el conjunto de $\pm 1$). La unidad de la esfera bundle $U\to M$ es una cubierta mapa (ya que la fibra es cero-dimensional). Desde $M$ es simplemente conectado, el paquete de $U\to M$ es trivial. Por lo tanto, se admite una sección.

Answer 3

Me doy cuenta de que esta pregunta ha sido respondida dos veces y ahora es bastante antiguo, pero sólo para corregir Daniel respuesta:

No acababa de conseguir la breve secuencia exacta que usted describe, pero usted consigue la siguiente;

el orientado a la doble cobertura $M^*$ puede ser visto como un fibration secuencia $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\to M^*\to M$, cuyo largo de la secuencia exacta tiene una pieza que se parece a $0\to \pi_1M^*\to \pi_1M\to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\to \pi_0M^*\to0$. Ahora si $M$ no es orientable, entonces $M^*$ está conectado, y por lo $\pi_0M^*=0$. Si $M$ también fueron simplemente conexa, entonces tendríamos una secuencia exacta $0\to \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\to 0$, lo que no puede suceder.