Me he encontrado con la necesidad de resolver la siguiente integral
$$\int\cos^{-1}(a \tan x)\cos x\ dx$$
Wolfram da una solución, pero me gustaría saber cómo integrar esta. Realmente no tengo idea de cómo empezar.
Respuesta
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Use integración por partes para obtener $$I=\int\cos^{-1}(a\tan x)\cos x dx=\sin x\cos^{-1}(a\tan x)+\int \frac{a\sec^2x}{\sqrt{1-a^2\tan^2x}}\sin x dx\\=\sin x\cos^{-1}(a\tan x)+\int \frac{a\sec x\tan x }{\sqrt{1-a^2\sec^2x+a^2}}dx$$ Now, to evaluate the second integration, put $z=\sec x$ and get the integral $$\int a\frac{dz}{\sqrt{1+a^2-a^2z^2}}$$. La esperanza, que puede pasar de aquí para conseguir el resultado final.
