Es esta transformación lineal posible?

Question

$\phi$ es lineal fraccional de transformación tal que $\phi(0) = 0, \phi(1) = 1$, e $\phi(2) = \infty$.

$\phi$ es lineal fraccional de transformación que $\phi(0) = 0, \phi(1) = 1$, $\phi(2) = 2$, y $\phi(3) = \infty$.

He encontrado esto en un pasado en el examen final, así que no tengo una respuesta para ella.

Answer 1

La primera es que sí, la segunda no. Esto es debido a que una fracción transformación lineal (también conocido como una transformación de Möbius) está unívocamente determinado por el lugar donde se envía los tres puntos distintos. Por lo tanto, podemos elegir para enviar 0, 1, 2 a 0, 1, $\infty$, respectivamente, y especifica una transformación única; pero debido a que no hay una única transformación enviar 0, 1, 2, 0, 1, 2, (a saber, la identidad de transformación), no podemos tener 3 enviado a $\infty$.

La página de la Wikipedia también se describe el método para venir para arriba con los coeficientes $a$, $b$, $c$, y $d$ en la transformación única $\frac{az+b}{cz+d}$ que envía a$z_1,z_2,z_3$$w_1,w_2,w_3$.

Answer 2

La Única linearfractional transformación que envía a $z_1,z_2,z_3\to\infty,0,1$ está dado por $$T(z)=\frac{(z-z_2)(z_3-z_1)}{(z-z_1)(z_3-z_2)}$$

En el primer caso se puede construir el mapa, pero para el segundo caso su $T(z)$ está dado por $$T(z)=\frac{2z}{(3-z)}$$ which does not send $2\2$