Análisis Real - Supremum Infimum Prueba

Question

Yo soy la auto enseñanza análisis y quería asegurarse de que la siguiente prueba de sentido;

Pregunta:

Supongamos que D es un conjunto no vacío y que $f:D\rightarrow$$\mathbb{R}$ y $g:D\rightarrow$$\mathbb{R}$.

Probar que: Si para cada $x,y\in D$, $f(x)\leq g(y)$ a continuación, $f(D)$ está delimitado por encima y $g(D)$ está delimitado a continuación. Además $sup$ $f(D)$ $\leq$ $inf$ $g(D)$

Intento:

Supongamos que existe un conjunto tal como en la pregunta.

Desde $f(x)\leq g(y)$ $\forall x,y\in D$, $f(x)$ está delimitado por encima de y $g(y)$ está delimitado a continuación.

Ahora, vamos a $supf(D)=A$ y deje $infg(D)=B$. A continuación, $\forall x\in D,$ $f(x)\leq A$ y $\forall y\in D,$ $g(y)\geq B$.

Asumir: $\lnot(A\leq B)$ $\Leftrightarrow$ $A>B$ y $A\neq B$

Pero si $A>B$,$supf(D)>infg(D)$.

Esto significa $\exists g(D)\leq supf(D)$, lo que significa, a su vez $\exists f(D)>g(D)$.

Pero esto es una contradicción, como $\forall x,y\in D,$ $f(D)\leq g(D)$. Por lo que se deduce $A\leq B$

Gracias!

Answer 1

En donde se quiere argumentar que $A \le B$, es muy claro lo que es $f(D)$, $g(D)$. $D$ es un conjunto, por lo $f(D)$ sería entendido como un conjunto. Pero entonces no es claro lo $f(D) > g(D)$ de media.

La prueba sería así: supongamos que, al contrario,$A >B$. Entonces no es$C$, de modo que $A>C>B$. Por definición de infimum, no es$y\in D$, de modo que $C>g(y)$. Por la definición de supremum, no es$x\in D$, de modo que $f(x) >C$. Entonces tenemos $$f(x) > C> g(y)$$ y esto contradice a su asunción. Por lo tanto $A> B$ es imposible y ya está.

Método 2: Se puede argumentar directamente por definición. Usted sabe que $$f(x) \le g(y)$$ para todos los $x, y\in D$. Fix $y$. A continuación, $g(y)$ es un límite superior para $\{f(x) : x\in D\}$. Así $$\sup_{x\in D} f(x) \le g(y).$$ por definición. de supremum. Ahora esta ecuación implica que el número de $\sup_{x\in D} f(x)$ es un límite inferior de $\{g(y) : y\in D\}$. Así $$\sup_{x\in D} f(x) \le \inf_{y\in D} g(y).$$

Answer 2

Dejé de leer cuando vi "Esto significa ...".

Independientemente de los métodos de representación de la confusión (el símbolo $f(D)$ denota el rango de $f$, que no es un número), se puede decir, sino algo así como "$A > B$ sólo si existen algunos $B < C < A$ y algunos $x,y \in D$ tal que $$ B \leq g(x) < C < f(y) \leq" $$ y la conclusión de los mismos.