Yo estaba pensando en una respuesta que el usuario Andreas Blass proporciona a una vieja pregunta de la mina y se preguntó si la siguiente construcción surgido en otro lugar que en el ejemplo que voy a dar.
Para cualquier conjunto a $X$, vamos a $\mathscr P(X)$ ser la categoría cuyos objetos son los subconjuntos de a $X$ y cuyos morfismos son la inclusión de mapas. Deje $R\subseteq A\times B$ ser una relación binaria en dos conjuntos de $A$$B$. Entonces hay dos functors \begin{align*} F &: \mathscr P(B)\to\mathscr P(A)^{\operatorname{op}} \\ G &: \mathscr P(A)^{\operatorname{op}}\to\mathscr P(B) \end{align*} definido de objetos por \begin{align*} F(X) &= \{a\in A:x\in X\Rightarrow (a,x)\in R\} \\ G(X) &= \{b\in B:x\in X\Rightarrow (x,b)\in R\} \end{align*} Uno no tiene que trabajar muy duro para demostrar que $F$ es de izquierda adjunto a $G$.
Un buen ejemplo de esto ocurre en el $\DeclareMathOperator{Spec}{Spec}\Spec$ en la construcción. Deje $A$ ser un anillo conmutativo y deje $R\subseteq A\times \Spec A$ ser $$ R=\{(a,\mathfrak p)\in A\times\Spec a:\en\mathfrak p\} $$ La anterior construcción nos ofrece con el familiar functors \begin{align*} \Bbb V &:\mathscr P(A)^{\operatorname{op}}\to\mathscr P(\Spec A) \\ \Bbb I &:\mathscr P(\Spec A)\to\mathscr P(A)^{\operatorname{op}} \end{align*} definido de objetos por \begin{align*} \Bbb V(X) &= \{\mathfrak p\in\Spec A:a\in X\Rightarrow (a,\mathfrak p)\in R\} \\ &= \{\mathfrak p\in\Spec A:X\subseteq \mathfrak p\} \\ \Bbb I(X) &=\{a\in A:\mathfrak p\in X\Rightarrow (a,\mathfrak p)\in R\} \\ &= \bigcap_{\mathfrak p\in X}\mathfrak p \end{align*} El resumen-tonterías anterior nos dice que $\Bbb I\dashv \Bbb V$. Debido a que los productos y co-productos en las categorías de la forma $\mathscr P(X)$ son las intersecciones y uniones, respectivamente, la continuidad de las propiedades de adjoint pares de darnos la conocida fórmula $$ \Bbb V\left(\bigcup_{i\in I}X_i\right)=\bigcap_{i\in I}\Bbb V(X_i) $$ Ahora, yo no estoy diciendo que no hay nada nuevo o profundo va aquí pero tengo curiosidad de saber si este surge en cualquier otro lugar. Hay otros adjunctions que surgen a partir de esta construcción?
