Uniformemente convergencia de $f_{n+1}(x)= \int^x_0 f_n(t)dt$

Question

Deje $f_0$ ser integrable de la función en $[0,a]$ y una secuencia de funciones de $f_{n+1}(x)= \int^x_0 f_n(t)dt$. Mostrar que $f_n$ es uniformemente convergente en $[0,a]$$0$.

Me siento tan lejos, es el si $\int_0^xf_0(t)dt =x_0$ $\int_0^xx_0dt=xx_0$ $f_n(x)=x^nx_0$
por lo $f_n(x) \to 0$ $x\in[0,1)$ pero no sé si de manera uniforme y de lo que ocurrirá para $a>1$ ?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Demostrar por inducción que $|f_n(x)|\leq \frac{x^n}{n!}\|f_0\|_\infty$ todos los $n\in\mathbb N, x\in[0,a]$

A continuación,$\|f_n\|_\infty \leq \frac{a^n}{n!}\|f_0\|_\infty$. Esta secuencia debe resultarle familiar.

Edit: Esto sólo funciona si $\|f_0\|_\infty$ es finito como se señaló en los comentarios. Este puede ser obtenido mediante el uso de $f_1$ en lugar de $f_0$ para la argumentación y el uso de $\|f_1\|_\infty \leq \|f_0\|_1$.