Considere el sistema $$x'=(\epsilon x+2y)(z+1)$$ $$y'=(\epsilon y-x)(z+1)$$ $$z'=-z^3$$
(a) Demuestre que el origen no es asintóticamente estable cuando $\epsilon=0.$
(b) Demuestre que cuando $\epsilon <0,$ la cuenca de atracción del origen contiene la región $z>-1.$
Hice (a) demostrando que al menos un valor propio de la matriz jacobiana no tenía parte real negativa.
Y estoy atascado en (b), no entiendo ¿qué tengo que demostrar?
¿Puede alguien ayudar, por favor?
Pistas: En lugar de considerar $x^2+2y^2+z^2$ de hecho, es más fácil considerar $z$ por separado de $(x,y)$ .
1) Integrar la ecuación de $z$ y demostrar que $z(t)$ llega a cero a medida que $t\rightarrow +\infty$ .
2) Demuestra que la función: $L(t)=x(t)^2+2y(t)^2$ verifica la oda: $\dot{L}(t) =-2|\epsilon| L(t) \; (z(t)+1).$
3) Integrar esta oda por $L$ y demostrar que $L(t)\rightarrow 0$ como $t\rightarrow +\infty$ .
(Por el camino también deberías concluir que ni $L$ , ni $z$ puede llegar al infinito)
Sí parece que es más fácil de esta manera para ver que $L(t)\to 0$ . En sus comentarios dijo que como $L(t)\to 0$ Entonces todos los puntos del espacio están en la cuenca de atracción, pero no entiendo por qué, ¿pueden explicar esto intuitivamente?
Cuando $z(0)<-1$ el sistema se expande al principio en $(x,y)$ pero después de un tiempo $z(t)$ es mayor que $-1$ y entonces el sistema comienza a contraerse. Esto se ve en el comportamiento de $L(t)$ Siempre que consigas hacer la parte (3) de mis consejos. Tenga en cuenta que como $L(t)$ llega a cero, entonces ambos $x(t)$ y $y(t)$ se ven obligados a ir a cero también, y $z(t)$ en cualquier caso va a cero. Espero que esto se aclare.
Estoy bastante seguro de que se trata de un problema del libro de Hirsch, Smale y Devaney en Sistemas dinámicos. Así que vamos a tomarlo pieza por pieza.
a) Cuando $\epsilon = 0$ tenemos que
$$x ' = 2y(z+1)$$ $$y' = -x(z+1)$$ $$z' = -z^3$$
Ahora queremos demostrar que el origen no es asintóticamente estable. Esto significa que existe alguna solución que no tiende al origen como $t \to \infty$ pero se mantiene cerca del origen (siendo un poco impreciso aquí, pero se puede precisar mirando la definición de estable).
Intentemos construir una solución de este tipo. Para simplificar, vamos a hacer la audaz suposición de que $z = 0$ en cuyo caso tenemos ahora las ecuaciones
$$x' = 2y$$ $$y' = -x$$ $$z' = 0$$
Esto es básicamente un $2 \times 2$ sistema con matriz
$$\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
que tiene valores propios $\pm i \sqrt{2}$ . Así pues, tenemos soluciones para este sistema de la forma
$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = C_1 \begin{bmatrix} \cos{t\sqrt{2}} \\ -\sin{t\sqrt{2}} \end{bmatrix} + C_2 \begin{bmatrix} \sin{t\sqrt{2}} \\ \cos{t\sqrt{2}} \end{bmatrix} $$
Ponerlo todo junto,
$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = C_1 \begin{bmatrix} \cos{t\sqrt{2}} \\ -\sin{t\sqrt{2}} \\ 0\end{bmatrix} + C_2 \begin{bmatrix} \sin{t\sqrt{2}} \\ \cos{t\sqrt{2}} \\ 0\end{bmatrix} $$
que son elipses alrededor del origen. Son estables pero no asintóticamente estables.
b) En este caso, podemos utilizar el principio de invariancia de LaSalle. En la página 195 (sección 9.2 de Hirsch, Smale y Devaney) vimos que
$$L = x^2+2y^2+z^2$$
es una función de Liapunov. Además, vimos que es una función de Liapunov estricta ya que
$$\frac{dL}{dt} = \epsilon(x^2+2y^2)(z+1)-z^4 < 0$$
para $\epsilon < 0$ y $z > -1$ .
El Principio de Invariancia de LaSalle dado en el libro de texto dice:
Dejemos que $X^*$ sea un punto de equilibrio para $X'= F(X)$ y que $L: U \to \mathbb{R}$ sea una función de Liapunov para $X^*$ , donde $U$ es un conjunto abierto que contiene $X^*$ . Sea $P \subseteq U$ sea una vecindad de $X^*$ que es cerrado y acotado. Supongamos que $P$ es positivamente invariante, y que no existe una solución entera en $P\setminus\{X^*\}$ en el que $L$ es constante. Entonces $X^*$ es asintóticamente estable y $P$ está contenida en la cuenca de atracción de $X^*$ .
Esto es lo que haremos. Consideremos el conjunto
$$P_{abc} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \quad | \quad |x| \le a, |y| \le b, -1+c \le z \le b$$
Observe que
$$\bigcup_\limits{a > 0, b > 0, 0<c<1} P_{abc} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \quad | z > -1 \}$$
Además, tenemos que cada $P_{abc}$ contiene el origen y es cerrado. Además, como la función Liapunuv es estricta, entonces cada $P_{abc}$ es positivamente invariante, de lo contrario implicaría que la función de Liapunov es creciente (ADVERTENCIA: ESTO ES FALSO. Como se señala en un comentario más abajo, NO es cierto que cada una de estas $P_{abc}$ son positivamente invariantes. Dejo aquí esta solución para que se advierta mi error). Además, tener una función de Liapunov estricta también garantiza que $L$ no es constante a lo largo de una solución. Por lo tanto, por el Principio de Invariancia de LaSalle, debemos tener que cada $P_{abc}$ está en la cuenca del origen y por tanto la unión también está en la cuenca.
El conjunto $P_{abc}$ no es positivamente invariable. Consideremos, por ejemplo, el caso $\epsilon=-1$ , $a=1$ , $b=1$ . En este caso la primera ecuación es $\dot x=(-x+2y)(z+1)$ . La solución que comienza en $x_0=(1,1,0)\in P_{abc}$ sale de $P_{abc}$ desde $\left.\dot x\right|_{x_0}=1>0$ Así que $x$ aumenta a lo largo de la trayectoria
Me inclino a estar de acuerdo con usted en este punto. Editaré mi respuesta y pondré una advertencia donde cometo mi error. ¿Sabes cómo resolver mi solución? O este enfoque no funciona. De hecho, así es como lo hice para una tarea y mi instructor supongo que no se dio cuenta.
Cualquier solución puede intersecar el plano $z=-1$ en una sola dirección: desde $z<-1$ a $z>-1$ . Esto se deduce del hecho de que $\left.\dot z\right|_{z=-1}=1>0$ es decir $z$ aumenta a lo largo de la trayectoria. Por lo tanto, $P=\{(x,y,z):z>-1\}$ es un conjunto positivamente invariable. Entonces, como @H. H. Rugh, podemos utilizar el hecho de que $L$ disminuye exponencialmente a cero para $z>-1$ Por lo tanto, cualquier solución que comience en $x_0\in P$ tiende a cero.
Añadiré una respuesta más detallada a la pista dada por @H. H. Rugh (el mérito es suyo).
Como propuso H. H. Rugh hay que encontrar una función de Lyapunov y la función propuesta funciona. Así que empezamos usando
$$L(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2$$
como una función definida positiva, que sólo es cero para el origen (que es un equilibrio del sistema).
La derivada temporal viene dada por
$$\dfrac{d}{dt}L(x,y,z)=2x\dot{x}+4y\dot{y}+2z\dot{z}$$ $$=2x(\varepsilon x+2y)(z+1)+4y(\varepsilon y-x)(z+1)+2z(-z^3)$$ $$=-2(-\varepsilon)(z+1)(x^2+2y^2)-2z^4.$$
Como se puede ver fácilmente por la última ecuación podemos ver que la derivada del tiempo es negativa definida siempre que $\varepsilon<0$ y $z+1>0 \implies z>-1$ .
Para estimar la región de atracción, observamos que $z>-1$ y $L(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2<c$ en la que tenemos que encontrar el mayor $c \in \mathbb{R}$ de manera que no viole $z>-1$ . El conjunto $x^2+2y^2+z^2<c$ es un elipsoide que se aprieta en el $y$ -dirección por un factor de 2 (haz un dibujo de la situación para concluir la siguiente afirmación). Por lo tanto, podemos concluir que $c=1$ califica para la región de atracción.
Funciona para todos los $z>-1$ . No necesita la restricción de $x,y$ . Sólo hay que tener en cuenta que $L$ es no creciente aquí y que después de un tiempo $\delta$ , usted tiene $z>-1/2$ digamos. A partir de entonces $\dot{L}\leq -c L$ con $c>0$ Así que $L$ tiende exponencialmente a cero.
La ecuación para $z$ es independiente de $x$ y $y$ así que veamos eso primero. Como $z^\prime$ es positivo cuando $z$ es negativo (y viceversa) y $z^\prime = 0$ cuando $z=0$ sabemos que
1) $z\rightarrow 0$ como $t\rightarrow \infty$
2) Si $z_0 > -1$ entonces $z > -1$ para todos $t>0$ (y así $z+1>0$ )
3) $z(t)$ puede resolverse explícitamente para
Dejamos que $A(t) = z(t)+1$ que se garantiza que es una función estrictamente positiva para todo $t\geq 0$ siempre y cuando $z_0 > -1$ . Esto reduce las dos primeras ecuaciones a un sistema lineal no autónomo:
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}^\prime = -A(t)\begin{bmatrix} \delta & -2 \\ \delta & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
donde $\delta = -\epsilon > 0$ . A partir de aquí sólo hay que demostrar que cualquier valor inicial $(x_0,y_0) \rightarrow (0,0)$ cuando $t\rightarrow \infty$ .
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Es necesario demostrar: cuando $\epsilon$ es negativo, los valores iniciales $(x_0,y_0,z_0)$ donde $z_0>-1$ se acercará al origen como $t \rightarrow \infty$ .
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@AlexanderJ93 ¿Voy a usar (a)?
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Lo más probable es que no, la parte (a) trata de $\epsilon=0$ mientras que la parte (b) trata de $\epsilon<0$ . Es posible que quieras mirar el jacobiano para el negativo $\epsilon$ valores, sin embargo.
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@AlexanderJ93 ¿por qué? ¿para encontrar la estabilidad de los puntos de equilibrio o algo así? No entiendo tu idea.