Como calcular $\int e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x^{3} dx$?

Question

$\int e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x^{3} dx=?$

Traté de hacer la sustitución de $du = x^3dx$, por lo que el $u=\frac{x^4}{4}$. A continuación, $\int e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x^{3} dx= \int e^{\sqrt{u}} du$

Sin embargo, yo tendría que hacer una segunda sustitución ( $v = \sqrt{u}$ ), lo que daría un producto nuevo.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Una segunda sustitución está perfectamente bien, si usted no desea utilizar Ale la sugerencia en los comentarios. El uso de $v = \sqrt{u}$, entonces usted consigue $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}}du \implies du = 2\sqrt{u}dv = 2vdv$ con $$\int e^{\sqrt{u}}du=2\int e^vvdv$$ If you know tabular integration, the integral is a breeze. Otherwise you can do integration by parts and still get an answer pretty quickly. You should find $$2\int e^vvdv = 2ve^v-2e^v+C \\ = 2\sqrt{u}e^{\sqrt{u}}-2e^{\sqrt{u}}+C \\ = x^2e^{\frac{x^2}{2}}-2e^{\frac{x^2}{2}}+C$$

Answer 2

Deje $t=\frac{x^2}{2}, dt=xdx$ para obtener

$\displaystyle \int e^{\frac{x^2}{2}}x^3\;dx=\int e^t(2t)dt=2\int te^t\;dt=2\left[te^t-e^t\right]+C=2\left[\frac{x^2}{2}e^{\frac{x^2}{2}}-e^{\frac{x^2}{2}}\right]+C$

$\;\;\;\;=\displaystyle e^{\frac{x^2}{2}}\left[x^2-2\right]+C$