De referencia de la solicitud en la teoría de números para un analista.

Question

Estoy confirmado mathochist. Mi formación es en el análisis, y bastante tradicionales de análisis en el que, principalmente armónico de las funciones, de los subarmónicos funciones y los límites de comportamiento de las funciones, pero tengo muchos años había un interés en la teoría de los números (¿quién no?) sin tener el tiempo para disfrutar de este interés mucho.

Habiendo recientemente se retiró de la enseñanza, que hago ahora tiene tiempo y le gusta mirar más profundamente en una rama de la teoría de números en la que mi experiencia anterior, todavía podría ser útil, y en particular, yo estaría interesado en saber más acerca de la interacción entre las curvas elípticas, complejo de multiplicación modular grupos, etc.

Estoy bastante confiado en mis antecedentes con respecto al análisis complejo, y tengo un conocimiento de los fundamentos de la p-ádico números, pero mi álgebra de fondo es mucho, mucho más débil: sólo lo que puedo recordar de cursos de hace muchos años, en grupos, anillos, campos y Teoría de Galois, y absolutamente ningún conocimiento de la maquinaria de homolgy/cohomology, y muy poco de la geometría algebraica (una vez leí los primeros 2 o 3 capítulos de Fulton antes de aburrirse y de volver a análisis!)

Por desgracia, yo ahora ya no tienen fácil acceso a una buena biblioteca académica, por lo que tendría que comprar cualquier texto(s) necesario, a menos que alguno de los buenos pasan a estar disponibles en línea.

Mi petición sería entonces esta:

Texto(s) que se recomienda para alguien que quiere saber más sobre curvas elípticas, complejo de multiplicación modular y grupos, teniendo en cuenta que yo soy muy raro quiere hacer ninguna investigación original, y es que todos los "sólo por diversión"?

Muchas gracias por tu tiempo!

Answer 1

Eche un vistazo a Koblitz: Introducción a las Curvas Elípticas y las Formas Modulares, y también en Knapp: Curvas Elípticas. Yo prefiero este último, ya que es más en profundidad, pero también es más algebro-geométrica. El primero tiene una base mucho más complejo el análisis de la inclinación, sobre todo al principio, que pueden hacer que la entrada sea más fácil. Así que usted podría intentar la lectura de Koblitz en primer lugar, y, a continuación, Knapp (habrá una gran cantidad de superposición, por supuesto).

La más completa de texto en curvas elípticas es Silverman: la Aritmética de Curvas Elípticas. Pero es considerablemente más algebro-geométrica de los dos anteriores, y que tiene muy poco material sobre las formas modulares. Así que no estoy seguro de que es el derecho de entrada de texto para usted.

Ninguno de estos cubierta del complejo de la multiplicación. Para eso, usted puede tener una mirada en Silverman: Temas Avanzados en la Aritmética de Curvas Elípticas. Mi sensación es que para apreciar la teoría de los complejos de la multiplicación, es de ayuda han visto el campo de la clase de teoría de antemano. Pero Silverman realiza una revisión de los principales resultados de campo de la clase de teoría, así que tal vez usted puede sumergirse directamente en, después de haber trabajado a través de uno de los textos fundamentales de arriba.

"Sólo por diversión" es una gran premisa para iniciar el aprendizaje de curvas elípticas, ya que realmente es muy divertido!

Answer 2

Muy buena pero subestimado libro que está disponible gratuitamente en línea es Milne Curvas Elípticas. Su tratamiento de curvas elípticas es ciertamente menos detallada de Silverman pero es justamente a través de y accesible. También tiene notas sobre el complejo de la multiplicación. También Silverman y Tate libro podría dar una somera exposición a las curvas elípticas y se supone nada, pero un conocimiento de los grupos.

Ahora con tu experiencia en el análisis complejo, tal vez el estudio de las formas modulares y la teoría analítica de números podrían ser de interés para usted? Apostol tiene una serie de dos libros (la Teoría Analítica de números y Modular las Funciones de Dirichlet y de la Serie) que se desarrollan estos en algunos detalles y son muy clásicos libros. Ram Murty el libro tiene un montón de ejercicios que siempre es bueno cuando el aprendizaje.

Un conocimiento de la teoría analítica de números y las formas modulares duda no va a ir a la basura si usted está interesado en curvas elípticas y son muy interesantes los sujetos en sí mismos.

EDIT: Ya Milne clics bien, tal vez usted debe echar un vistazo a su colección de notas y los libros? Él tiene cosas en álgebra así que los puedes utilizar para cepillar para arriba en él.