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¿Cuál es la densitiy del producto de dos variables aleatorias Gaussianas?

Supongamos que $X,Y$ son dos escalares independientes normal de las variables aleatorias, $X \sim N(\mu_X,\sigma_X^2)$, $Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$. Estoy particularmente interesado en el caso de que no asumimos $\mu_X = \mu_Y = 0$.

Estoy interesado en la variable aleatoria $XY$. ¿Qué se puede decir acerca de su PDF?

Hay una pregunta existente donde una respuesta explica que $XY$ es la diferencia de dos chi-cuadrado de las variables.

Para el valor cero caso, sabemos que el PDF es el producto normal de distribución. Hay un no-cero significa que la generalización de este?

Sé que hay una 1970 SIAM papel por Springer y Thompson, pero no tengo acceso a esta. Es la parte que es relevante para mi pregunta públicamente disponible en algún sitio?

Para agregar a mi confusión, me encontré con una nota de Bromiley, donde se argumenta que el producto de dos normales independientes de variables aleatorias es una variable normal de nuevo - que pensé que no era el caso. El argumento en el documento vinculado va como esto: Productos de gauss Pdf gaussiana. El PDF de un producto de dos independientes de RVs es su convolución. La transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de fourier. Gaussianos se asignan a gaussianos en el marco del (inversa) la transformada de Fourier. Estoy malentendido algo? Hay algo mal con la prueba?

9voto

Felix Marin Puntos 32763

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\rm P}\pars{\xi}&= \int_{-\infty}^{\infty}\dd x\,{1 \over \root{2\pi}\sigma}\, \exp\pars{-\,{x^{2} \over 2\sigma^{2}}} \int_{-\infty}^{\infty}\dd y\,{1 \over \root{2\pi}\sigma}\, \exp\pars{-\,{y^{2} \over 2\sigma^{2}}}\ \overbrace{\delta\pars{\xi - xy}}^{\ds{\delta\pars{y - \xi/x} \over \verts{x}}} \\[3mm]&={1 \over 2\pi\sigma^{2}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\,{1 \over 2\sigma^{2}}\bracks{x^{2} + {\xi^{2} \over x^{2}}}}\, {\dd x \over \verts{x}} \\[3mm]&={1 \over \pi\sigma^{2}}\int_{0}^{\infty} \exp\pars{-\,{1 \over 2\sigma^{2}}\bracks{x^{2} + {\xi^{2} \over x^{2}}}}\, {\dd x \over x}\tag{1} \end{align} $\ds{\delta\pars{x}}$ es la La Función Delta De Dirac.

Con $\ds{x \equiv A\expo{\theta/2}\,,\quad A > 0\,,\quad\theta \in {\mathbb R}}$: \begin{align} {\rm P}\pars{\xi}&={1 \over \pi\sigma^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\,{1 \over 2\sigma^{2}} \bracks{A^{2}\expo{\theta} + {\xi^{2} \over A^{2}}\expo{-\theta}}}\, \pars{A\expo{\theta/2}\,\dd\theta/2 \over A\expo{\theta/2}} \end{align} Podemos optar $\ds{A}$ tal que $\ds{A^{2} = {\xi^{2} \over A^{2}}\quad\imp\quad A = \verts{\xi}^{1/2}}$: \begin{align} {\rm P}\pars{\xi}&={1 \over 2\pi\sigma^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\,{\verts{\xi} \over \sigma^{2}}\cosh\pars{\theta}}\,\dd\theta ={1 \over \pi\sigma^{2}} \int_{0}^{\infty} \exp\pars{-\,{\verts{\xi} \over \sigma^{2}}\cosh\pars{\theta}}\,\dd\theta \end{align}

$$\color{#00f}{\large% {\rm P}\pars{\xi} = {1 \over \pi\sigma^{2}}\, {\rm K}_{0}\pars{\verts{\xi} \over \phantom{2}\sigma^{2}}} $$ donde $\ds{{\rm K}_{\nu}\pars{z}}$ es un El Segundo Tipo De Función De Bessel.

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2voto

bdimcheff Puntos 118

Esto probablemente debería ser un comentario, pero no puedo comentar porque de rep límite.

Sin embargo, tenemos la certeza de que el producto NO se distribuye normalmente en sí. Usted puede tratar en MATLAB

x=100*(randn(100000,1)+5); y=60*(randn(100000,1)+4); hist(x.*y,100);

y ver que el resultado de la distribución es asimétrica.

Sin embargo, si el medio de las dos distribuciones están muy separados (es decir sustituir la media de y de 4 a 1000), a continuación, el producto se empieza a ver mucho más en forma de campana.

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