Subconjuntos compactos de homeomorfismo

Question

¿Hay subconjuntos compactos $A,B \subset \mathbb{R^2}$ con $A$ no es homeomorfo a $B$ pero $A \times [0,1]$ homeomorfo a $B \times [0,1]$ ?

Answer 1

Sí. Considere los dos conjuntos siguientes.

Editar : Jon, déjame explicarte con más detalle por qué los dos conjuntos (llámalos $A$ y $B$ respectivamente) no son homeomórficas. En la práctica, me parece que demostrar que dos conjuntos no son homeomórficos es un poco engorroso. No he completado todos los detalles por esa razón, dejándolos para ti; hazme saber si quieres más explicaciones sobre algo.

Supongamos, buscando una contradicción, que $h:A\to B$ es un homeomorfismo. Sea $\alpha:[0,1]\to B$ sea un camino entre los dos puntos donde las cruces se cruzan con el borde del cuadrado y sea $\beta:[0,1]\to B$ sea un camino entre los dos puntos donde los palos se cruzan con la arista. Elige $\alpha$ y $\beta$ para que sus imágenes no se crucen, es decir, para que $\alpha([0,1])\cap\beta([0,1])=\varnothing$ . Consideremos ahora las trayectorias $\alpha'=h^{-1}\circ\alpha:[0,1]\to A$ y $\beta'=h^{-1}\circ\beta:[0,1]\to A$ . Sigue siendo cierto que $\alpha'$ es un camino entre las intersecciones de las cruces y los cuadrados, y que $\beta$ es un camino entre las intersecciones de los palos y los cuadrados (¿por qué?). Pero las imágenes de $\alpha'$ y $\beta'$ deben intersecarse (¿por qué?), y eso es una contradicción.

En cuanto a su segunda pregunta, ¿por qué $A'\times[0,1]$ y $B'\times[0,1]$ no son homeomórficos déjame darte una intuición. Los conjuntos $A\times[0,1]$ y $B\times[0,1]$ son homeomórficas porque se pueden mover las "ramas" a través de la parte superior del cubo contenido en $A\times[0,1]$ . Pero el espacio $A'\times[0,1]$ es $A\times[0,1]$ con el interior, la parte superior y la parte inferior del cubo eliminados -- no hay más "parte superior" para mover las ramas a través, y un homeomorfismo no funcionará.

Answer 2

Esta es una adición al bonito ejemplo de abajo.

Fue demostrado por K. Borsuk (Teorema 16 en el documento " Sobre la descomposición de un compacto localmente conectado en el producto cartesiano de una curva y una variedad ", Fund. Math. 40, (1953) 140-159.) que si X, Y son compactos localmente conectados de dimensión a lo sumo 1, y sus productos con el intervalo son homeomorfos entonces X es homeomorfo a Y. De hecho, en lugar de un intervalo, se puede utilizar cualquier colector topológico con o sin límite.