pregunta sobre la continuidad: uso de coordenadas polares

Question

Dada una función $f\colon\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$ Quiero estudiar la continuidad. Así que conozco el $\varepsilon-\delta$ y el criterio de secuencia.

Ahora tenemos coordenadas polares en las clases: set $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ y luego considerar $r\rightarrow 0$ para la continuidad en $(0,0)$ .

Esta transformación parece muy útil para expresiones como por ejemplo $\frac{xy^2}{x^2+y^2}$ pero no me aproximo a la función sólo en todas las líneas rectas en $(0,0)^t$ ? Y para la continuidad tengo que acercarme a $(0,0)^t$ sin embargo quiero que no lo haga usando coordenadas polares. Entonces, ¿por qué puedo seguir utilizando coordenadas polares? Gracias por la ayuda.

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Añadir: No quiero una solución para la continuidad del ejemplo anterior. Claramente $|\frac{xy^2}{x^2+y^2}|\leq |y|<\epsilon$ y así la continuidad en $(0,0)$ con $f(0,0)=0$ que también obtengo con coordenadas polares ya que $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ .

Answer 1

Si se fija $\theta$ y dejar que $r\to 0^+$ entonces te estás acercando $(0,0)$ sólo en líneas rectas. Esto puede ser útil para demostrar que un límite no es decir, proporcionar dos valores diferentes para $\theta$ que dan lugar a dos límites diferentes. Si quiere cubrir cada camino que se acerca a $(0,0)$ y seguir utilizando coordenadas polares, entonces hay que tener en cuenta $\theta$ como una función (por ejemplo $\theta=\theta(r)$ arbitraria), en lugar de una constante. En su ejemplo, $$ \lim_{r\to 0^+}\frac{\big(r\cos\theta(r)\big)\cdot\big(r \sin\theta(r)\big)^2}{\big(r\cos\theta(r)\big)^2 + \big(r\sin\theta(r)\big)^2} = \lim_{r\to 0^+}\frac{r^3\cos\theta(r)\sin^2\theta(r)}{r^2} = \lim_{r\to 0^+}r\cos\theta(r)\sin^2\theta(r) = 0 $$

Hay que tener en cuenta que al considerar $\theta=\theta(r)$ en lugar de $r=r(s)$ y $\theta=\theta(s)$ con $r(s)\to0^+$ para $s\to 0^+$ es asumir que de alguna manera te estás "acercando estrictamente $(0,0)$ .

Answer 2

El uso de coordenadas polares y el límite $r\rightarrow 0$ para calcular $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ no es una elección de camino para acercarse a su punto límite.
Con las coordenadas polares sólo se está "parametrizando" todo el punto en la vecindad de $(0,0)$ a través de su distancia de $(0,0)$ y su ángulo con respecto al positivo $x$ -eje. El límite $r\rightarrow 0$ es a lo largo de cualquier camino que conecta el punto de partida y $(0,0)$ , no (sólo) las líneas rectas. Si dicho límite depende de la propia trayectoria, como en el caso del límite

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$$

entonces decimos que la función no es continua en el punto límite.

Por supuesto, el uso de coordenadas polares es estupendo para algunas funciones, mientras que puede ser una mala elección para muchas otras. Encontrar directamente un contraejemplo a la continuidad (¡si es que existe!) es probablemente la mejor manera de responder a este tipo de problemas.