Hartshorne III 9.8 comprensión de puntos asociados y extensiones

Question

De Hartshorne III

La proposición 9.8 sea Y un esquema regular de la dimensión 1, vamos a P $\in Y$ ser un punto cerrado, y sea X $\subset \mathbf P_{Y-P}^n$ ser un cerrado subscheme que es plano Y - P. Entonces existe un único cerrado subscheme $\bar X \subset \mathbf P_Y^n$, plana Y, cuya restricción a $\mathbf P_{Y-P}^n$ es X.

La prueba consiste en la toma de $\bar X$ para el conjunto de la teoría de cierre de X. Mi problema es que en la comprensión de por qué los puntos asociados de $\bar X$ son los mismos que los puntos correspondientes de X, y por qué cualquier otra extensión tendría algunos puntos asociados a la cartografía para P. ¿Cómo pueden otras extensiones?

Por cierto, ¿cómo debo pensar realmente de puntos asociados? El único ejemplo visual que tengo en mente es el de "la cruz". Vamos A := k[x,y]/(x-y), entonces los puntos (x), (y) y (x,y), sólo el último de los cuales está cerrado, está asociada puntos, porque cada elemento en el correspondiente primer ideales es un cero divisor. ¿Significa esto que debo pensar de puntos asociados como los puntos que tienen algunos intersección con el "otro componente irreducible"?

Answer 1

En el ring $A=k[X,Y]/(X\cdot Y)=k[x,y]$ el primer ideales $(x),(y)$ están asociadas, ya que son mínimos.
El ideal maximal $(x,y)$, sin embargo, es no asociados, ya que en un reducido noetherian anillo a la inversa de lo anterior es cierto: cualquier asociado prime es un mínimo prime.

Ravi Vakil en su magnífica geometría algebraica curso tiene una maravillosa explicación de por qué y cómo los puntos asociados de un sistema son sus puntos más importantes.
Ya sería grotesco para mí para tratar de mejorar sus explicaciones, me voy a dirigir a la página 164 de estas notas.