¿Hay algún otro impulso, además de la Poynting impulso almacenado en un campo electromagnético?

Question

Estoy teniendo algunas dificultades conceptuales con la energía y el impulso almacenados en los campos EM.

La fuerza de la densidad en un punto es

$\rho E + j\times B$

Debido a la conservación del momento, y debido a que los campos EM es la única cosa que actúan en los cargos uno (por lo menos ingenuamente) creo que un cambio correspondiente en el momento,

$-\rho E -j\times B$

entra en el campo electromagnético de alguna manera.

De hecho, expresando la fuerza de Lorentz en una forma diferente, obtenemos el Tensor de tensiones de Maxwell,

$\epsilon_0((\nabla\cdot E) + (E\cdot \nabla))E + \mu_0^{-1}((\nabla\cdot B) + (B\cdot \nabla))B - \nabla(\epsilon_0\frac{E^2}{2}+\mu_0^{-1}\frac{B^2}{2}) - \epsilon_0\frac{\partial(E\times B)}{\partial t}$

Sitios como http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/lectures.html se implica que el impulso de la densidad de un EM campo es la integral en el tiempo de la negativa de los últimos plazo:

$\epsilon_0(E\times B)$

Lo que implica que el momento es "llevado" por el vector de Poynting.

Ahora, si nos tomamos el tiempo derivado de esta cantidad, obtenemos \begin{equation}\epsilon_0\frac{\partial(E\times B)}{\partial t} = \epsilon_0((\nabla\cdot E) + (E\cdot \nabla))E + \mu_0^{-1}((\nabla\cdot B) + (B\cdot \nabla))B - \nabla(\epsilon_0\frac{E^2}{2}+\mu_0^{-1}\frac{B^2}{2}) - \rho E - j\times B\end{equation}

Que voy a llamar a la ecuación 1.

Como era de esperar, el negativo de la fuerza de Lorentz que aparece en esta expresión. Por desgracia, es un poco de un hack, ya que el "Coulomb" parte de la fuerza de Lorentz que en realidad no contribuyen a la expresión, ya que es cancelado por el

$\epsilon_0(\nabla\cdot E)E$ plazo.

De hecho, otra forma de expresar este impulso es $-\mu_0^{-1}B\times(\nabla \times B) - \epsilon_0E\times(\nabla \times E) - j\times B$ En otras palabras, el cambio en este impulso plazo parece que no depende en absoluto de la de Coulomb plazo.

Peor aún, si este representa el cambio total en la dinámica de todo el sistema, deberíamos ser capaces de agregar este Poynting cambio en el momento de la Maxwell tensor de tensiones y obtener 0, pero esto obviamente no es correcto. Estamos en lugar de la izquierda con

$\epsilon_0((\nabla\cdot E) + (E\cdot \nabla))E + \mu_0^{-1}((\nabla\cdot B) + (B\cdot \nabla))B - \nabla(\epsilon_0\frac{E^2}{2}+\mu_0^{-1}\frac{B^2}{2})$

o

$\rho E-\mu_0^{-1}B\times(\nabla \times B) - \epsilon_0E\times(\nabla \times E)$

Así que algo que no es de equilibrio de este plazo, de acuerdo a mi razonamiento.

Entonces, mi pregunta es, ¿cómo se explica este término restante?

Answer 1

El campo electromagnético impulso de la densidad en una región cambia por dos razones.

Uno es un flujo de impulso de la densidad (por ejemplo, si una onda electromagnética en la región), y el otro es un intercambio de impulso con las cargas eléctricas.

Ambos son importantes. El enlace que mencionas realmente cubre a ambos. Si usted se tome el tiempo de la tasa de cambio de la electromagnético impulso de la densidad, más la fuerza de la densidad de obtener el flujo.

Como una analogía que puede mirar a la conservación de la carga. La divergencia de $\vec J$ es proporcional a la tasa de tiempo de cambio de la densidad de carga. Usted puede incluso tener la ecuación de continuidad $\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J.$, por Lo que la densidad de corriente es el flujo de la carga eléctrica.

Voy a decir más tarde para mantener esta respuesta autónomo, pero ahora nota: si usted mira ecuación 1068 del enlace citado, entonces sí la $\rho \vec E$ término aparece en la derivación, al mismo tiempo, como $ \epsilon_0 \vec E \vec {\nabla} \cdot \vec E$ aparece. Pero usted debería haber empezado con el cambio total de la total de impulso de ver claramente lo que está pasando. Vamos ahora a ser autónomo.

Empezar con $\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$ como la tasa de tiempo en que momento total (campo y mecánica) cambios en una región. Queremos demostrar que puede ser representado como una total divergencia, porque entonces podemos ver el flujo de momentum que nos dice cómo el impulso de los flujos. Y sí, en algún punto hay que girar a la $\rho \vec E$ a $ \epsilon_0 \vec E \vec {\nabla} \cdot \vec E$ y sí que representa mecánica impulso intercambio con electromagnética impulso, pero cuando se empieza con $\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$ de lo que se computing es el flujo, que es realmente una expresión de cómo el impulso se mueve y no le importa si el impulso en ese punto es cambiar de un tipo a otro.

Podemos ver dos cosas, primero cómo el impulso se está moviendo, y en segundo lugar cómo está cambiando (aunque este último se puede entender muy bien de la fuerza de Lorentz). La única razón por la que el momentum total puede cambiar es si fluye. Y así el campo de impulso en una región puede cambiar por dos razones, desde el flujo de momentum (flujo) y de intercambio con la mecánica de impulso a la derecha allí. Así como usted puede escribir $\frac{ \partial \rho}{\partial t}$ como una divergencia de la corriente; del mismo modo, desea escribir $\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$ total de la divergencia, porque entonces la cosa está tomando la divergencia de que puede ser el flujo de momentum.

Así que ahora que sabemos lo que estamos calculando $\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$ (porque es el tiempo de la tasa de cambio del momentum total densidad, mecánicos y de campo de impulso), y sabemos que estamos apuntando a escribir como una total divergencia para que la cosa se separaron es el flujo de momentum. Por lo tanto, dado que, echemos un vistazo a las piezas. En realidad, yo sólo voy a repetir la derivación de modo que no necesitamos de su enlace.

Así de campo impulso densidad es de $ \epsilon_0 \vec E \times \vec B$ so the rate of change of field momentum is $\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$. The rate of change of mechanical momentum density is $ \rho \vec E + \vec J \times \vec B$, so the total change of total momentum density is $\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$. Now we will do math and will need the identity $\vec \nabla \left(E^2/2\right)=\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E\ \ derecho) + \left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E$ o como producto de las reglas y de Maxwell:

$$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)=$$ $$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\left(\frac{1}{\mu_0} \vec \nabla \times \vec B-\vec J\right)\times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}.$$

Ahora recordamos que nuestro objetivo es escribir esto como una total divergencia. Pero ahora vemos dos términos $ \vec J \times \vec B$ $-\vec J \times \vec B$ y matemáticamente no es obvio que la cancelación de ellos nos ayudará a conseguir una total divergencia, pero no hace daño y, a continuación, tenemos menos a escribir. Y quiero señalar que no parece oponerse a esta parte. Sin embargo, hay más que de simples matemáticas aquí. El plazo $\vec J \times \vec B$ nos dice cómo es la mecánica de los cambios de ritmo y sabemos que el cambio en la mecánica impulso sólo se adentra en los campos. Pero esto nos dice que el impulso mecánico cambiados debido a la fuerza magnética es sólo una de las dos cosas que más contribuye al cambio en el $\vec E$. Maxwell realmente debería ser escrito como la evolución de las ecuaciones de $\vec E$ $\vec B$ y realmente es sólo que dos cosas que contribuyen a que el cambio en $ \vec E$, la circulación de $\vec B$ y actual. Por lo tanto (circulantes $\vec B$ y actual) contribuir al cambio en el campo de impulso de allí. Es justo que uno (el actual), contribuye a la campo de impulso al dar impulso mecánico, mientras que los otros cambios en el impulso de aquí por medio de un flujo de cerca. Y sólo que el flujo de momentum contribuye al flujo de momentum total. Para la cancelación de ellos es físicamente correcto, no sólo matemáticamente permitido y tipográficamente conveniente. La misma cosa exacta que va a suceder con $\rho \vec E$ más tarde, ya que sólo se preocupan por el flujo de momentum total, porque eso es lo que estamos calculando. Por lo tanto tenemos:

$$\rho \vec E + \left(\frac{1}{\mu_0} \vec \nabla \times \vec B\right)\times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \vec B \times \left(\vec \nabla \times \vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \left(-\vec\nabla \times \vec E\right).$$

Ahora nos damos cuenta de que cada término tiene cualquiera de los campos magnéticos o campos eléctricos y los términos con los campos magnéticos en realidad son una total divergencia. Vamos a ver si podemos hacer que la parte eléctrica parecer una total divergencia así.

$$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \left(-\vec\nabla \times \vec E\right)=$$ $$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\rho \vec E -\epsilon_0 \vec E \times \left(\vec\nabla \times \vec E\right)=$$ $$ \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\rho \vec E -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$ \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$ \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right) -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right).$$

Ahora ambas colecciones de términos son un total de divergencia. Podríamos haber tomado el rizo y comprobado que llegamos $\vec 0$ si eso es lo que quería saber, pero el punto es que sabemos cómo obtener una cosa específica, cuya divergencia es lo que queremos.

Específicamente $\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\epsilon_0E^2\delta_{ij}/2-\epsilon_0E_iE_j+B^2\delta_{ij}/2\mu_0-B_iB_j/\mu_0\right)$ es una divergencia que da a la negativa de la $i$ésima componente de $$ \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right) -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right).$$

Así, conceptualmente, queríamos una ecuación como $\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J$ donde el flujo de la carga nos dice que la tasa de tiempo de cambio de la carga. Tenemos:

$$\rho E_i + \left[\vec J \times \vec B\right]_i + \frac{\partial}{\partial t}\left[\epsilon_0\vec E \times \vec B\right]_i=-\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\epsilon_0E^2\delta_{ij}/2-\epsilon_0E_iE_j+B^2\delta_{ij}/2\mu_0-B_iB_j/\mu_0\right)$$

Dos conceptual de los problemas siguen. Uno, que usted ha mencionado, fue sobre el cambio de la dinámica entre el campo y la carga. Si no hubiera ningún densidad de carga el plazo ya han sido un total de divergencia, como el campo magnético de condiciones. Cuando no hay carga, entonces el campo eléctrico tiene una divergencia. Esto sólo significa que el campo en el momento de realidad de flujo o desde donde las líneas de campo terminar. Esto no es un hack. Si usted mira momentum total, no hay un problema, que fluye, por lo que hay un flujo de momentum. Y el tiempo de la tasa de cambio del momentum total es simplemente la negativa de la divergencia del flujo de momentum. No hay nada misterioso en lo más mínimo. Seguro que, si se mira sólo el campo de impulso ahora hay dos maneras para que cambie, el impulso de flujo de flujo de un impulso en la cerca y se puede intercambiar con el impulso mecánico.

Ahora, por la fuerza magnética en el intercambio de momentum con algunos de los cambios de campo impulso, desde el cambio del campo eléctrico. Que en realidad es una de las maneras de campo de los cambios de ritmo, de las fuerzas magnéticas que actúan sobre cargas en movimiento y las cargas en movimiento y cambiando el campo eléctrico por encima y más allá de cómo la circulación del campo magnético cambia el campo eléctrico. Y el otro contribuyente a la evolución de los campos eléctricos, la circulación de $\vec B$ campos, sucede incluso cuando no hay cargas en movimiento, de modo que es el flujo de momentum a través del espacio entre los cargos. Sin embargo, para que las fuerzas eléctricas, las cosas podrían parecer a primera vista diferente. El $\vec{B}$ cambios de campo únicamente a causa de la circulación de los campos eléctricos. Sin embargo, sucede lo mismo de todos modos.

Ni la mecánica impulso por sí mismo, ni el el campo de impulso ni por sí mismo, tiene su tiempo de la tasa de cambio de una total divergencia. Así que cada intuición acerca de las cantidades conservadas falla. Campo de impulso no se conserva, no es una cosa que simplemente fluye. Mismo con la mecánica de impulso. Pero el momento total se conserva, no sólo el flujo de aquí para allá. Lo que usted puede imaginar es el de la escritura como una total divergencia, además de algunas otras término, cuando la falta de divergencia términos son iguales a un contrario. Este no es el único, y no es físicamente significativa desde el campo de impulso mecánico y el impulso por sí mismos (en las regiones donde hay tanto) no se conserva, por tanto, somos libres para matemáticamente elegir lo que queremos, y por desgracia para la comprensión conceptual, la matemática más sencilla es tener el $\rho\vec{E}$ 100% el otro (por lo que la divergencia parte es cero). Mientras tanto, el campo de impulso de parte es $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E+\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E\right)=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)-\epsilon_0\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)-\rho \vec E.$$

Así, un total divergencia menos un término como $\rho\vec E$. Pero esto no es un hack, es simplemente decir que cuando la divergencia de $\vec E$ es distinto de cero, el campo de impulso no se conserva y la velocidad a la que se pierde (en lugar de simplemente fluye a su alrededor, ya que es registrado por el total de la divergencia plazo) es igual y opuesta a lo que el mecánico impulso de las ganancias. Esto es exactamente lo que queremos, y por lo tanto el opuesto de un hack. Así podemos ver cómo el impulso de los flujos (porque el flujo es la cosa que tomar un total de divergencia) y sí, se interconverts entre los distintos tipos de impulso porque eso es lo que el impulso que hace, no es más misterioso que cuando una partícula intercambios impulso de una partícula diferente. Que podríamos llamar de partículas de un impulso y de partículas de dos impulso y el aviso de que ni por sí mismo se conserva.

Sólo para ser totalmente claro sobre el campo magnético, el campo magnético cambia únicamente a causa de la circulación de los campos eléctricos. No cambia debido a los cargos, o a causa de las corrientes. Sin embargo, sólo en la ausencia de cargos que hace el campo eléctrico de flujo de la parte en una manera en que usted tiene un total de divergencia para el campo impulso por sí mismo. Y esto es justo como la única en ausencia de corriente, el campo magnético de flujo de la parte en un camino donde se tiene una total divergencia. Eso es porque el campo impulso no se conserva en los otros casos. Por lo que su flujo no es una total divergencia es una divergencia más un término igual a la Fuerza de Lorentz de la Densidad. Algunos de los que se intercambia entre los dos tipos de impulso, y algunos fluye alrededor de aquí para allá. Y el momento total se conserva.

Answer 2

Estoy teniendo algunas dificultades conceptuales con la energía y el impulso almacenados en los campos EM.

Tal vez eso es porque hay una cierta confluencia entre el campo y la fuerza. Ver Minkowski del Espacio y el Tiempo:

"En la descripción del campo causado por la electrónica en sí, entonces se verá que la división del campo en las fuerzas eléctricas y magnéticas es relativo con respecto a el eje del tiempo, se supone; las dos fuerzas se consideran juntos pueden más vívidamente ser descrito por una cierta analogía con la fuerza de tornillo en la mecánica; la analogía es, sin embargo, imperfecta."

Ver cómo decía el campo? Y luego hablamos acerca de las fuerzas eléctricas y magnéticas? Véase también la sección 11.10 de Jackson y de la Electrodinámica Clásica , donde dice "uno debe hablarse propiamente de que el campo electromagnético Fµv en lugar de E o B por separado". En mi humilde opinión eso es porque E es lineal, fuerza eléctrica, y B representa la rotación de la fuerza magnética. Y el punto importante es que no hay ninguna fuerza de la densidad algún punto en un campo electromagnético. Las fuerzas son sólo existe cuando dos campos electromagnéticos interactuar. Se necesitan dos para el tango.

Entonces, mi pregunta es, ¿cómo se explica este término restante?

No sé. Pero ya que usted tiene dificultades conceptuales, tal vez usted necesita un enfoque conceptual. Comience con la dispersión de Compton, donde algunos de los E=hf fotones de la energía de las olas se convierte en la energía cinética de los electrones. Hacer otra Compton dispersión de los residuales de los fotones, y otro, y otro ad infinitum. En el límite no hay fotones de la izquierda. Cuando usted toma toda la energía de una onda, sólo que no hay ninguna más. Ha sido totalmente convertido en el movimiento de los electrones. Y, sin embargo, en la producción de par, usted puede hacer un electrón (y un positrón) fuera de un fotón. De tal manera, que el electrón se hizo de movimiento. De energía o, si lo prefiere. O mejor aún, de energía-impulso.

Tenga en cuenta que puede causar la difracción de los electrones. Y tenga en cuenta que a atómicos orbitales de los electrones "existen como ondas estacionarias". Creo que de los fotones como algo similar a una onda sísmica que se desplaza 1 m a la izquierda, a continuación, 1m derecho. Si usted podría hacer es dar la vuelta a un spin ½ Dirac cinturón de la ruta, sería una estática 1m de desplazamiento. (Conseguir una sensación para esta cortando 1-longitud de onda de la onda sinusoidal de tiras de papel y envolviéndolos en tiras de Möbius). Puedes terminar con un pie de campo en lugar de un campo de variación, y el impulso que está oculto. Ver el campo estático de la sección de la Wikipedia vector de Poynting artículo? Ver esta imagen por Michael Lenz?

_{Vector de Poynting en un campo estático, donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético, y S el vector de Poynting.}

Así que no hay campo eléctrico E, y no hay ningún campo magnético H. O B. Es la electromagnética campo, y para siquiera empezar a describir lo tienes que combinar el típico radial y circular representaciones de E y B. Ver esta respuesta donde hice esto, y pensar en lo oculto impulso de algo como marco de arrastre. No permanece oculto cuando electrón-positrón se produce la aniquilación. Entonces p=hf/c fotones gamma son de fuera como un tiro, a c, a partir de un "pie" de inicio. Una onda estacionaria se ve inmóvil, pero no lo es. El movimiento está oculto. El impulso que está oculto. La energía-momentum está oculto. Y si no, el campo electromagnético no estaría allí.