¿Qué es la intuición detrás de Gauss sumas?

Question

Deje $\chi$ ser un personaje en el campo de $F_p$, y corregir algunas $a \in F_p$. Definimos una suma de Gauss: $g_a (\chi) = \sum_{t\in F_p}\chi(t)\zeta^{at}$ donde $\zeta$ es una primitiva $p^{th}$ raíz de la unidad.

¿Qué es la intuición detrás de esta definición?

Answer 1

Cuando usted dice $\chi$ es un personaje de el campo de $F_p$, lo que significa realmente es un personaje de el grupo $F_p^\times$. Cualquier (multiplicativo) de caracteres $\chi$ $F_p^\times$ se puede extender a una función en $F_p$ mediante el establecimiento $\chi(0) = 0$, y con este convenio $\chi$ como una función en $F_p$ es totalmente multiplicativo. La fijación de una elección de trivial $p$th raíz de la unidad $\zeta$, cualquier función de $f \colon F_p \rightarrow {\mathbf C}$ tiene una transformada de Fourier ${\mathcal F}f \colon F \rightarrow {\mathbf C}$ dada por $({\mathcal F}f)(a) = \sum_{t \in F_p} f(t)\overline{\zeta^{at}}$. De modo que la suma de Gauss $g_a(\chi)$ es esencialmente la transformada de Fourier a $a$ de la función de $\chi$ (como una función en $F$). Para más información sobre esto, vea el ejercicio 7 de la página 16 a http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/grouptheory/charthy.pdf

Otra intuición (además de la idea de que Gauss suma de un personaje es básicamente la transformada de Fourier de ese personaje, visto como una función en el grupo aditivo $F_p$) es que una suma de Gauss es un discreto análogo de la función Gamma. Ver páginas 56--58 de Koblitz del libro "$p$-ádico de Análisis: Un Curso Corto en el Reciente Trabajo" para una tabla que ilustra esta analogía (incluyendo la idea de que un Jacobi suma es igual a la función Beta).

Answer 2

Una explicación es dada en matemáticas.SE la respuesta. En el lenguaje de la respuesta, queremos describir el único cuadrática subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$. Ya que es cuadrática, es generado por la raíz cuadrada de algunos racional, por lo que el grupo de Galois de los actos por la multiplicación por $-1$. Por lo tanto, usted quiere encontrar un elemento de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ de manera tal que el grupo de Galois $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}$ actúa mediante la multiplicación por $-1$, y a una constante que es un elemento de Gauss suma (para la cuadrática de caracteres). Gauss sumas con respecto a la más general de los personajes tienen una relación similar a las acciones del grupo de Galois.

Answer 3

Ellos son la transformada de Fourier discreta de la caracter $\chi$ (que, presumiblemente, es una multiplicativo carácter-como la cuadrática símbolo, ¿no?). Esto le permite a uno para expresar $\chi$ como una suma de exponenciales.