Tangente mapa de $F_{*}: T_{p}(M) \to T_{F(p)}(N)$ son lineales tranformations.

Question

Cómo demostrar que la tangente mapa de $F_{*}: T_{p}(M) \to T_{F(p)}(N)$ son lineales tranformations?

Sé que esto es suficiente para mostrar que

$$F_{*}(ax_{u}+bx_{v})=aF_{*}(x_{u})+bF_{*}(x_{v})$$

donde $x$ es un parche en $M$.

Por definición,

$$F_{*}(ax_{u}+bx_{v})=\frac{d}{dt}F(\alpha(t))_{t=0}$$ donde $\alpha'(0)=ax_{u}+bx_{v}$.

También sé que si $y=F(\alpha(t))$,$y'=F_{*}(\alpha'(t))$.

Podemos expresar $\alpha(t) =x(a_{1}(t),a_{2}(t))$, $$\alpha'(t) =a_{1}'(t)[x_{u}(a_{1}(t),a_{2}(t))]+a_{2}'[x_{v}(a_{1}(t),a_{2}(t))]$$

Para $t=0$, $\alpha'(0) =a_{1}'(0)[x_{u}(a_{1}(0),a_{2}(0))]+a_{2}'[x_{v}(a_{1}(0),a_{2}(0))]=ax_{u}+bx_{v}$.

Por lo tanto, puedo conseguir $a_{1}(0)=u$, $a_{2}(0)=v$, $a_{1}'(0)=a$, $a_{2}'(0)=b$.

Ahora, podemos decir que

$$F_{*}(ax_{u}+bx_{y})=\frac{d}{dt}F(x(a_{1}(t),x(a_{2}(t)))_{t=0}$$ $$=a_{1}'(0)\frac{\partial}{\partial{u}}F(x(a_{1}(t),x(a_{2}(t)))+a_{2}'(0)\frac{\partial}{\partial{v}}F(x(a_{1}(t),x(a_{2}(t))$$

Si $\frac{\partial}{\partial{u}}F(x)=F(x_{u})$ , de hecho. pero ¿es lo correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

A ver que $F_*$ es lineal, hablemos de su imagen en la base natural de la $T_{F(p)}N$ proveniente de la elección de una coordenada parche. Deje $\tilde{x}$ ser una coordenada parche alrededor de $F(p)$, y deje $\phi,\psi$ (suave) de las funciones en el dominio de $x$ tal que

$$F(x(u,v)) = \tilde{x}(\phi(u,v),\psi(u,v)).$$

También, vamos a $\tilde{\alpha} = F \circ \alpha$ y escribir $\tilde{\alpha}(t) = \tilde{x}(\tilde{a}_1(t),\tilde{a}_2(t))$ donde $\tilde{a}_1(t) = \phi(a_1(t),a_2(t))$, e $\tilde{a}_2(t) = \psi(a_1(t),a_2(t))$. Entonces $$F_*(\alpha'(0)) = \tilde{\alpha}'(0) = \tilde{a}_1'(0) \tilde{x}_u + \tilde{a}_2'(0) \tilde{x}_v \\ =(a\phi_u + b\phi_v) \tilde{x}_u + (a\psi_u+b\psi_v)\tilde{x}_v.$$

Como un bono adicional, esto le da una representación de la matriz de $F_*$ con respecto a las bases dadas por $x$$\tilde{x}$.

Answer 2

Por ejemplo, podría ir en la definición de $ F_* $ en coordenadas locales y el uso de la descripción física de los vectores de tangentes. Después de todo, los cocineros de abajo a la multiplicación de la matriz.

O puede usar la descripción de cómo se $ F_* $ actúa sobre equvivalence clases de curvas de $[\gamma ]$ , es decir,$F_*[\gamma]=[\gamma \circ F]$. Sólo tienes que tener cuidado de cómo se obtiene el vector de estructura de espacio en ese caso.