Así, por ejemplo, $GL(n,\mathbb{R})$ grupo. Se dice que este grupo puede ser considerado como colector - pero no entiendo cómo esto es posible. ¿Cómo hace uno para, a continuación, asignar un barrio de una matriz, y hablar de compacidad? (por supuesto, el colector puede ser desconectado, pero.)
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Una $n \times m$ matriz es, por definición, una función de $A: \{1, \ldots, m\} \times \{1, \ldots, n\} \to \mathbb{R}$. La mayoría del tiempo escribimos $A_{ij}$ de su valor en $(i,j)$ en lugar de $A(i,j)$. Si usted piensa acerca de la definición de un vector, esto es equivalente a mirar en los puntos de $\mathbb{R}^{mn}$. Así, por $n \times n$ matrices cuadradas, son solo puntos de $\mathbb{R}^{n^2}$.
En $\mathbb{R}^k$ tenemos un montón de normas. Es un teorema básico de análisis funcional, que estos son todos equivalentes y definir equivalente topologías (esto es esencialmente lo que el punto de equivalencia). Quizá la más simple es sólo el $\ell_1$norma: la suma de los valores absolutos de los elementos de la matriz.
Así que ahora podemos hablar de la distancia y otras similares nociones como la compacidad. Por ejemplo, tenemos la función $\det: \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}$. Por su definición, es un polinomio en las entradas de la matriz. Por lo tanto es una muy buena función suave. El grupo $\text{GL}(n,\mathbb{R})$ es
$$ \text{GL}(n, \mathbb{R}) = \{ A \in \mathbb{R}^{n^2} \mid \det(A) \neq 0 \}$$
y así es la preimagen de un conjunto abierto en virtud de una función continua. Por lo tanto es un conjunto abierto.
El especial lineales grupo se compone de las matrices con determinante $\pm 1$, y así del mismo modo se forma un subgrupo cerrado.
Para un pacto ejemplo, considere las matrices ortogonales. Una matriz ortogonal, si lo piensas, es aquel que satisface $n^2$ ecuaciones lineales en sus entradas. Así que voy a formar un conjunto cerrado (un subgrupo, incluso). Por otra parte, podemos ver que en realidad están delimitadas (la columna de sumas no puede exceder $1$), y por la de Heine-Borel también conocido como el teorema de caracterización de la compacidad $\mathbb{R}^k$ sabemos que ellos son un subgrupo compacto.
Una buena aplicación de este topológico sin sentido es el de Cayley-Hamilton teorema (de cualquier matriz es la raíz de su polinomio característico). El trabajo de más de $\mathbb{C}$, uno puede mostrar que la diagonalizable matrices son en realidad densa en $\mathbb{C}^{n^2}$. El Cayley-Hamilton teorema es cierto para estos, y de ahí se extiende a todas las matrices complejas. Además, uno puede mostrar algunos algebraicas tonterías que esto implica es cierto para todos los anillos conmutativos (con la unidad).
MyPreciousss
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Doy esta respuesta para ampliar los comentarios de Jyrki Lahtonen y Abramo.
Deje $M = gl(n, \mathbb{R})$, que es el conjunto de $n \times n$ matrices de más de $\mathbb{R}$. Una de coordenadas global gráfico de $x_{ij}$ está dado por el componente de asignación: $$ x_{ij}(A) = e_i^TAe_j $$ donde $e_i$ sirve como el estándar de la base de $\mathbb{R}^n$. Es fácil demostrar que este es un bijection de $M$ $\mathbb{R}^{n^2}$e da $M$ la estructura de una $n^2$-dimensiones múltiples.
La asignación de $det: M \rightarrow \mathbb{R}$ $GL(n, \mathbb{R})$ como el complemento de la fibra a $0$ de este mapa; $GL(n, \mathbb{R}) = M-det^{-1} \{ 0 \}$. Como tal, es simplemente una restricción de $M$ a un subconjunto. Yo se lo dejo a usted para determinar si $GL(n, \mathbb{R})$ así construido es abierto o cerrado. Te voy a dar una pista: el determinante mapa está formado por los polinomios de coordinar los mapas en $M$ por lo tanto es claramente continua y $\{0 \}$ es un conjunto cerrado.
