Cálculo de Pushforward y la Retirada

Question

Después de leer sobre el pushforward y retroceso, realmente no tiene ningún conocimiento de ellos, así que creo que estas simples preguntas podría aclarar las cosas para mí; yo agradezco todas las sugerencias o soluciones.

Deje $(s,t)$ coordenadas en $\mathbb{R}^2$ $(x,y,z)$ coordenadas en $\mathbb{R}^3$. Deje $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ ser definido por $g(s,t)=(\sin(t),st^2,s^3-1)$.

Deje $X_p\in T_p\mathbb{R}^2$ ser dado por $X_p=\frac{\partial}{\partial s}|_p - \frac{\partial}{\partial t}|_p$, calcular el empuje de avance $g_*X_p$.

Deje $\omega$ ser el liso $1$forma $\omega=dx+xdy+y^2dz$; encontrar el pullback $g^*\omega$.

Por lo que yo entiendo, si $\varphi:M\to N$ $d\varphi_p:T_p M\to T_{\varphi(p)}N$ y que está dado por $d\varphi_p(X)(f)=X(f\circ \varphi)$ donde$X\in TM (T_pM?)$$f\in C^\infty (N)$. Creo que el $d\varphi=\varphi_*$? Y creo que en este caso $M=\mathbb{R}^2$, $N=\mathbb{R}^3$, y $\varphi=g$ pero no estoy seguro de lo $f$ es igual a (a qué $g_*X_p$ act?).... qué necesitamos para actuar en un $f$ encontrar $g_*X$? Lo siento, estoy un poco perdido.

Answer 1

Veamos algunos cálculos: en primer lugar, el empuje de avance del campo de vectores $X = \frac{\partial }{\partial s} - \frac{\partial }{\partial t}$, denotado $g_* X$. Para ello, tenemos que encontrar el empuje hacia delante de los dos campos vectoriales $\frac{\partial}{\partial s}$$\frac{\partial}{\partial t}$. Esta está dada por $$ g_* \left( \frac{\partial}{\partial s} \right) = \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial s}\frac{\partial }{\partial z} = t^2 \frac{\partial}{\partial y} + 3^2 \frac{\partial}{\partial z}, $$ y $$ g_* \left( \frac{\partial}{\partial t} \right) = \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial t} \frac{\partial}{\partial z} = \cos(t) \frac{\partial}{\partial x} + 2st \frac{\partial}{\partial y}. $$ A continuación, $$ g_* X = g_* \left( \frac{\partial}{\partial s} \right) - g_* \left( \frac{\partial}{\partial t} \right) = -\cos(t) \frac{\partial}{\partial x} + (t^2 -2º) \frac{\partial}{\partial y} + 3^2 \frac{\partial}{\partial z}. $$ Una observación: en $g_* X$, que debería haber escrito esto sin referencia a $s$ $t$ (es decir, resolver las ecuaciones $x=\sin(t)$ $y=st^2$ $z=s^3-1$ $s$ $t$ en términos de $x,y,z$), sin embargo no fue claro para mí cómo hacerlo aquí.

A continuación, vamos a encontrar que el pullback $g^{*}\omega$: esta será una 1-forma en $\mathbb{R}^2$ y por lo tanto debe ser de la forma $a(s,t) ds + b(s,t) dt$. Para averiguar lo que estas funciones $a(s,t)$$b(s,t)$, reescribir cada "componente" de la forma $\omega$ en términos de$s$$t$: $$ dx = \frac{\partial x}{\partial s} ds + \frac{\partial x}{\partial t} dt = \cos(t) dt $$ $$ dy = \frac{\partial y}{\partial s} ds + \frac{\partial y}{\partial t} dt = t^2 ds + 2st dt $$ $$ dz = \frac{\partial z}{\partial s} ds + \frac{\partial z}{\partial t} dt = 3^2 ds $$ Elaboración de todo esto, nos encontramos con que \begin{align*} g^* \omega &= \cos(t) dt + \sin(t) (t^2 ds + 2st dt) + s^2 t^4 (3s^2 ds) \\ &= (t^2 \sin(t) + s^4 t^4 ) ds + (\cos(t) + 2st \sin(t) ) dt. \end{align*}

Si usted encuentra que usted necesita práctica con los cálculos cuando se trata con los colectores y la geometría diferencial (por ejemplo, empujar hacia adelante, pullbacks, la Mentira derivados, etc.), Recomiendo mirar un ejercicio pesado libro como Gadea Y la Máscara del "Análisis y Álgebra en Diferenciables Colectores, Un Libro de ejercicios para Estudiantes y Profesores". Me pareció un ser muy útil cuando el aprendizaje de este material por primera vez.