para un entero positivo $n$ el uso de la notación $y^{[n]}$ a representar el $n$-th tetration de $y$, por lo que $y^{[1]}=y$, $\, y^{[2]}= y^y$, $\,y^{[3]}=y^{y^y}$, y así sucesivamente.
un par de simulaciones sugieren que, en $(0,1]$ la secuencia de $y^{[n]}$ converge a un valor de $x$, que es la solución de la ecuación: $$\sqrt[x]{x} = y $$
la justificación de este procedimiento de solución de la siguiente manera a partir de la definición: $$ y^{[n+1]} = y^{y^{[n]}} $$ así que por un punto fijo: $$ x = y^x $$ es decir, $$ x^{\frac1x} = y $$ por ejemplo, establezca $y=\frac12$. esto le da, como una solución aproximada $x = y^{[40]}=0.6411857445049887$ y el: $$ x^{\frac1x} = 0.5000000000000047 $$
mi pregunta es, realmente, una solicitud para obtener ideas sobre cómo se puede abordar la tarea de la formulación de un tratamiento riguroso a la sospecha de una convergencia que se indica firmemente por la simulación por ordenador y por la existencia de un punto fijo. todos los comentarios, los aprecio mucho
