¿Por qué no puedo hacer la sustitución $x = \sin \theta$?

Question

Para una variable ficticia en una integral como $x$ en

$$\int_a^b \frac{x^2}{1-x^2} \, dx$$

¿Por qué es aceptable hacer una sustitución: vamos a $ x = \sin \theta$) para obtener algo como

$$\int_a^b \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \cos \theta \, d\theta$$

No, no estoy interesado en la solución de este problema, pero soy curioso en cuanto a por qué la sustitución es legal desde $x$, dependiendo de los límites que puede tomar cualquier valor, mientras que $\left|\sin \theta \right| < 1$. Así que, ¿por qué se permitió, y no existen restricciones sobre la sustitución (además de: continua en dicho intervalo, que se define en dicho intervalo)?

Answer 1

Puedo ver un par de maneras diferentes que usted puede intentar justificar esto.

Una posibilidad es la aproximación directa. La función compleja $\sin z$ es surjective, así que podría tomar algún contorno de $\gamma$$\Bbb{C}$, de tal manera que $\sin z$ rangos de$a$$b$$\gamma$, y sigue siendo un valor real todo el tiempo. Su sustitución se convierte entonces en el original real de la integral en un complejo integral contorno.

Desde $\sin(a+bi)=\sin a \cosh b + i \cos a \sinh b$, usted probablemente querrá el contorno de vivir en la unión del eje real con el conjunto de los números complejos que tienen parte real $\pm\frac{\pi}{2}$ (o algún otro especificado par de ceros de $\cos a$: una con $\sin a = 1$ y un con $\sin a = -1$). Esto conducirá a la esencia de la misma álgebra como Robert de Israel sugerencia de hacer un hiperbólico de sustitución para empezar, tal vez con un poco más conceptual de la unificación de los análisis de casos.

Alternativamente, se podría argumentar de la siguiente manera. Sabemos que para $a,b \in [-1, 1]$, la integral definida es igual a una expresión que se puede encontrar por sustitución trigonométrica. Además, que la expresión así como el original de la integral debe ser holomorphic en algunos de los grandes de dominio en $\Bbb{C}$. Luego siga por la versión fuerte de la identidad teorema que de hecho son iguales en ese dominio grande, no sólo en $[-1, 1]$. Creo que, si quieres hacer imranfat la idea de "temporalmente haciendo la integral impropia" riguroso, este es el camino que usted necesita para ir hacia abajo.

Answer 2

Voy a darle una oportunidad para responder a su pregunta: Al hacer un trig sub, es muy a menudo el caso de que no se puede etiquetar a los límites junto a su nuevo integrante. Muchas veces, no hay un estándar ángulo de $\theta$ que coincida con un determinado $a$ o $b$, por ejemplo, $a=\frac{2}{3}=sin\theta$. Esto no significa que el trig sub no se puede hacer. Esto significa que "temporalmente" la hacen impropia, evaluar la anti derivada y luego de vuelta-sub. En su caso, es posible que no es $\theta$, debido probablemente a $a$ y/o $b$ cae fuera de la gama de seno. Así que, a continuación, de nuevo el mismo método que el anterior. No hay nada de malo con eso. Ahora si no hay ninguna raíz cuadrada (para que trig subs se utilizan a menudo), entonces usted tiene algo más de "libertad", como se sugiere en el primer comentario. Suponiendo que la función es continua en el intervalo $[a,b]$, aquí es una justificación de por qué su trig sub está permitido. Paso 1: Hacer un u-sub $x-a=t$, por lo que el $dx=dt$. Ahora su nuevo integrante tiene un límite inferior de cero y un límite superior de un nuevo valor, decir $c$. Segundo: Elija $t=(2c)sin\theta$, y al realizar este sub, los nuevos límites se $0$ $\theta=\pi/6$ y esta es limpio!