Vamos a empezar con una habitual de Artin-Schreier extensión de $k(x)/k$ $F(x)-x=f$ donde $F$ es el endomorfismo de $k$ recaudación de todo el poder a $p$, e $f\in k$ no es de la forma $g^p-g$ cualquier $g\in k$. Aquí los automorfismos son conseguido mediante la ampliación de $x\mapsto x+a$, $a\in \Bbb{F}_p$. La razón por la que estos trabajos es que el $F(a)=a$, por lo que no es de extrañar $F(x+a)-(x+a)= F(x)-x$. El grupo de Galois entonces es isomorfo al grupo aditivo de que el primer campo, es decir cíclico de orden $p$.
Para obtener cíclico extensiones de grado $p^2$ utilizamos la media aritmética de el anillo de los vectores de Witt $W_2(k)$ de la longitud de la $2$. El Frobenius mapa de $F$ nos da (por functoriality de $W_2$) el endomorfismo
$$W_2(F):W_2(k)\to W_2(k), (z_1,z_2)\mapsto (F(z_1),F(z_2))=(z_1^p,z_2^p).$$
Los puntos fijos de $W_2(F)$ son, obviamente, los elementos de la sub-anillo $W_2(\Bbb{F}_p)$ que sin duda, usted sabe para ser isomorfo al anillo de $\Bbb{Z}/p^2\Bbb{Z}$. El camino para convertir esto en un grupo de Galois es considerar extensiones $k(x_1,x_2)/k$, donde los elementos $x_1,x_2$ satisfacer las Witt vector
ecuación
$$
W_2(F)(x_1,x_2)-(x_1,x_2)=(f_1,f_2)\qquad(*)
$$
para algunos adecuado elemento $(f_1,f_2)\in W_2(k)$ (se necesita tener un poco de cuidado para asegurarse de que $(*)$ rendimientos mínimos polinomios de $x_1$$x_2$). Esta vez la adición de cualquier vector $(a_1,a_2)\in W_2(\Bbb{F}_p)$ da un automorphism
$$(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2)+(a_1,a_2).$$
Esto funciona debido a que $(a_1,a_2)$ es un punto fijo de $W_2(F)$ y por lo tanto
$$
W_2(F)(x_1,x_2)-(x_1,x_2)=W_2(F)\big((x_1,x_2)+(a_1,a_2)\big)-\big((x_1,x_2)+(a_1,a_2)\big).
$$
Puede ser que esto no es exactamente lo que quería ver? Hice describir el ciclo de extensión, no como un simple paso que parece que queremos, sino como una torre de
dos cíclico extensiones $k(x_1,x_2)/k(x_1)/k$.
Así que permítanme tratar y aclaren esto con un ejemplo concreto. Yo uso $p=2$ debido a que el Witt aritmética de vectores no parece tan difícil de manejar en ese caso. Si $A$ es cualquier conmutativa $\Bbb{F}_2$-álgebra, las operaciones en $W_2(A)$ están dadas por
$$
\begin{aligned}
(a_1,a_2)+(b_1,b_2)&=(a_1+b_1,a_2+b_2+a_1b_1),\qquad\leftarrow\text{There was a serious typo here. Fixed now.}\\
(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)&=(a_1b_1,a_1^2b_2+b_1^2a_2).\\
\end{aligned}
$$
Aquí $a_1,a_2,b_1,b_2$ son arbitrarias elementos de $A$, y las operaciones (en el r.h.s.) la participación de ellos son los de $A$.
Como $(0,0)$ es el elemento neutro de la suma, se resuelve a partir de la incorporación de la fórmula que
$$
-(a_1,a_2)=(a_1,a_2+a_1^2).
$$
Por lo tanto la diferencia
$$
\begin{aligned}
W_2(F)(x_1,x_2)-(x_1,x_2)&=(x_1^2,x_2^2)-(x_1,x_2)\\
&=(x_1^2,x_2^2)+(x_1,x_2+x_1^2)\\
&=(x_1^2+x_1,x_2^2+x_2+x_1^3+x_1^2).
\end{aligned}
$$
Nuestro Witt ecuación vectorial $(*)$ es así equivalente a la del sistema
$$
\begin{cases}
x_1^2+x_1&=f_1,\\x_2^2+x_2+x_1^3+x_1^2&=f_2.
\end{casos}\qquad(**)
$$
Los elementos del grupo de Galois $Gal(k(x_1,x_2)/k)$ está dado por la adición de un Witt vector de$W_2(\Bbb{F}_2)$$(x_1,x_2)$. El isomorfismo de $\Bbb{Z}_4$ $W_2(\Bbb{F}_2)$va como $0\mapsto (0,0)$, $1\mapsto (1,0)$,
$2\mapsto (1,0)+(1,0)=(0,1)$, $3\mapsto (1,0)+(0,1)=(1,1)$. Los elementos correspondientes del grupo de Galois son
$$
\begin{aligned}
\tau_0:\,&(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2)+(0,0)=(x_1,x_2),\\
\tau_1:\,&(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2)+(1,0)=(x_1+1,x_2+x_1),\\
\tau_2:\,&(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2)+(0,1)=(x_1,x_2+1),\\
\tau_3:\,&(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2)+(1,1)=(x_1+1,x_2+1+x_1).
\end{aligned}
$$
Con todo esto es fácil comprobar que, por ejemplo, $\tau_1$ respeta la última ecuación de $(**)$:
$$
\begin{aligned}
\tau_1(x_2^2+x_2+x_1^3+x_1^2)&=(x_2+x_1)^2+(x_2+x_1)+(x_1+1)^3+(x_1+1)^2\\
&=x_2^2+x_1^2+x_2+x_1+(x_1^3+x_1^2+x_1+1)+(x_1^2+1)\\
&=x_2^2+x_2+x_1^3+x_1^2.
\end{aligned}
$$
Si usted se siente como usted puede comprobar que $\tau_i\circ\tau_j=\tau_{i+j\bmod4}$ para todos los pares de $i,j$:-)
De todos modos, de $(**)$ es obvio que tanto las $k(x_1)/k$ $k(x_1,x_2)/k(x_1)$ son Artin-Schreier (extensiones cíclica de grado dos). Además, el automorphism $\tau_2$ se ha corregido el campo de $k(x_1)$ y genera el grupo de Galois $Gal(k(x_1,x_2)/k(x_1))$.
Con todo esto podemos fácilmente calcular el polinomio mínimo $m(T)\in k[T]$$x_2$$k$. Los conjugados se puede leer de la tabla anterior, por lo que acabamos de calcular
$$
\begin{aligned}
m(T)&=(T+x_2)(T+x_2+1)(T+x_2+x_1)(T+x_2+x_1+1)\\
&=(T^2+T+x_2^2+x_2)(T^2+T+x_2^2+x_2+x_1^2+x_1)\\
&=(T^2+T+(x_1^3+x_1^2+f_2))(T^2+T+(x_1^3+x_1^2+f_2+f_1))\\
&=T^4+T^2+(T^2+T)f_1+(x_1f_1+f_2)^2+f_1(x_1f_1+f_2)\\
&=T^4+T^2+(T^2+T)f_1+f_1^3+f_1^2+f_2
\end{aligned}
$$
a menos que ocurra un error o dos. No estoy del todo seguro de que esto es lo que estabas buscando. De todos modos, el uso de Witt ecuaciones vectoriales deja bastante claro que el grupo de Galois es cíclico de orden $p^2$. Todos por analogía con el Artin-Schreier caso.
Con la esperanza de que esto ayude.
