Familias espectrales de operadores conmutativos

Question

Consideremos dos operadores autoadjuntos acotados $A$ y $B$ en un espacio de Hilbert separable. Según el teorema espectral podemos escribir $$ A=\int_{-\infty}^{\infty} x d E^{A}_x, \quad B=\int_{-\infty}^{\infty} y d E^{A}_y $$ donde $E^{A}_x$ y $E^{B}_y$ son las familias espectrales de proyectores de $A$ y $B$ respectivamente. ¿Existe una forma sencilla de demostrar que si $[A,B]=AB-BA=0$ entonces $[E^{A}_x,E^{B}_y]=0$ para todos $x,y$ ?

Answer 1

Desde $AB=BA$ , se obtiene $A^nB=BA^n$ para todos $n$ y de inmediato $p(A)B=Bp(A)$ para cualquier polinomio $p$ . Por Stone-Weierstrass, $f(A)B=Bf(A)$ para cualquier $f\in C(\sigma(A))$ .

Ahora dejemos que $$\Sigma=\{\Delta:\ \Delta\ \text{ is Borel and } E^A(\Delta)B=BE^A(\Delta)\}. $$ Por el hecho de que $E^A$ es una medida espectral, se deduce rápidamente que $\Sigma$ es un $\sigma$ -Álgebra. Si $V\subset\sigma(A)$ es un conjunto abierto cualquiera, se puede escribir como una unión disjunta de intervalos, lo que nos permite ver que existe una secuencia $\{f_n\}\subset C(\sigma(A))$ tal que $f_n\nearrow 1_V$ en el sentido de los puntos. Entonces, para cualquier $x\in H$ , \begin {align} \langle BE^A(V)x,x \rangle &= \langle E^A(V)x,B^*x \rangle = \int_ { \sigma (A)}1_V\\N,d E^A_{x,B^*x} \\ \ \\ &= \lim_n\int_ { \sigma (A)}f_n\\N,d E^A_{x,B^*x} = \lim_n\langle f_n(A)x,B^*x \rangle\\ \ \\ &= \lim_n\langle Bf_n(A)x,x \rangle = \lim_n\langle f_n(A)Bx,x \rangle\\ \ \\ &= \lim_n\int_ { \sigma (A)}f_n\\N,d E^A_{Bx,x} = \int_ { \sigma (A)}1_V\N,d E^A_{Bx,x} \\ \ \\ &= \langle E^A(V)Bx,x \rangle. \end {align} Como $x$ era arbitraria, $E^A(V)B=BE^A(V)$ . Así que $V\in\Sigma$ y por lo tanto $\Sigma$ contiene todos los subconjuntos abiertos de $\sigma(A)$ y luego el conjunto de Borel $\sigma$ -de la álgebra de $\sigma(A)$ . Así, $E^A(\Delta)B=BE^A(\Delta)$ para cualquier Borel $\Delta\subset\sigma(A)$ .

Hasta ahora ni siquiera hemos usado eso $B$ es autoadjunto; pero ahora podemos utilizar el hecho para repetir el argumento anterior para una $\Delta_1\subset\sigma(A)$ para obtener $$ E^A(\Delta_1)E^B(\Delta_2)=E^B(\Delta_2)E^A(\Delta_1) $$ para cualquier par de conjuntos de Borel $\Delta_1\subset\sigma(A)$ , $\Delta_2\subset\sigma(B)$ .

Answer 2

Lo que necesitas es una forma de construir $E_A$ y $E_B$ directamente de $A,B$ . Esto se consigue mediante la fórmula de Stone: $$ \frac{1}{2}\left(E(a,b)x+E[a,b]x\right) \\ = \lim_{\epsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\pi i} \int_{a}^{b}(A-(r+i\epsilon)I)^{-1}x-(A-(r-i\epsilon)I)^{-1}x dr $$ Se trata de una integral de contorno alrededor de $[a,b]$ con las piezas verticales que faltan. Usando límites fuertes se puede aislar $E(a,b)x$ y $E[a,b]x$ a través de los límites en $a$ , $b$ . En realidad se puede hacer esto de forma constructiva utilizando el $\tan^{-1}$ para integrar explícitamente y tomar el límite en la topología fuerte.

Si $AB=BA$ entonces $$ (A-\lambda I)B = B(A-\lambda I) \\ (A-\lambda I)(B-\mu I)=(B-\mu I)(A-\lambda I) \\ (B-\mu I)(A-\lambda I)^{-1} = (A-\lambda I)^{-1}(B-\mu I) \\ (A-\lambda I)^{-1}(B-\mu I)^{-1}=(B-\mu I)^{-1}(A-\lambda I)^{-1}. $$ A partir de esto y de la fórmula de Stone, se tiene una prueba constructiva de que las medidas espectrales de $A$ y $B$ ir al trabajo. Creo que ayuda a ver cómo se determina constructivamente la medida espectral en intervalos de $\mathbb{R}$ .