La prueba de que un anillo de $(A, + , \cdot)$ es conmutativa si $$x(y^2+y)=(y^2+y)x$$
Me puse a $x$ $$(x-xy^2) $$and I get that $$xy^3=yxy^2.$$But I don't know how to get $xy=yx$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Asbv
Puntos
18
Deje $Z(A) = \{x \in A| yx = xy, \forall y \in A \}$.
La hipótesis significa que $x^2 + x \in Z(A), \forall x \in A$.
Ahora establezca $x := x+y$ y conseguir que la $$(x+y)^2 + (x+y) \in Z(A) \iff x^2 + xy + yx + y^2 + x + y \in Z(A) \iff $$
$$ \iff (x^2 + x) + (y^2 + y) + (xy+yx) \in Z(A) \implies xy + yx \in Z(A).$$
Esto significa que $$\forall x,y \in A, x(xy+yx) = (xy+yx)x \iff x^2y + xyx = xyx + yx^2 \iff x^2y = yx^2.$$
La hipótesis se reescribe como $$xy^2 + xy = y^2x + yx, \forall x, y \in A,$$ and using the relation from above, we get that $$xy = yx, \forall x,y \in A,$$ so $Una$ es un anillo conmutativo.
