Intuitiva prueba de $\frac{1+e^x}2>\frac{e^x-1}x$ para los estudiantes de escuela secundaria

Question

En una escuela secundaria de referencia libro, leí una pregunta que de $\frac{1+e^x}2$ $\frac{e^x-1}x$ es mayor al $x>0$.

Por supuesto, la pregunta es técnicamente fácil de responder. E. g. usando el poder de expansión de la serie de $e^x$, uno inmediatamente se ve que la altura promedio es mayor que la pendiente de la secante de la línea. Alternativamente, uno puede responder a la pregunta por el uso de la primera y la segunda derivadas de $x(1+e^x)-2(e^x-1)$.

Sin embargo, las respuestas como estas parecen demasiado chapucero. Una forma más elegante que uno es comparar los derivados de la $\frac x2$$\tanh\frac x2=\frac{e^x-1}{e^x+1}$, pero no espero un estudiante de secundaria que ser conscientes de que el uso de la tangente hiperbólica.

Dado que tanto $\frac{1+e^x}2$ $\frac{e^x-1}x$ tienen interpretaciones geométricas, me pregunto si hay una forma más natural, - - - y probablemente geométricamente mentalidad --- respuesta. Alguna idea?

Answer 1

Usted podría estar interesado en la estricta formulación de la Hermite–Hadamard la desigualdad-si $f$ es estrictamente convexa en $[a,b]$ donde $a<b$, entonces la integral de $f$ es estrictamente acotada arriba por su aproximación trapezoidal: $$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x< \tfrac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)\text{.}$$ Conjunto $a=0$, $b=x$, $f(x)=\mathrm{e}^x$. Entonces $$\mathrm{e}^x-1< x\left(\tfrac{\mathrm{e}^x+1}{2}\right)\text{.}$$ Desde $f$ en este caso es positivo y suave, es muy fácil para ilustrar la desigualdad gráficamente.

Answer 2

$$\frac{1+e^x}2>\frac{e^x-1}x$$ is equivalent to $$x+2>(2-x)e^x $$

Estas dos funciones, $x+2$ $ (2-x)e^x $ tienen el mismo valor y la misma pendiente en $x=0$

para $x>0$, al comparar los dos derivados, $1$ $(1-x)e^x$ conduce a la comparación de $ \frac {1}{1-x}$ $e^x$

Tenga en cuenta que en el intervalo de $(0,1)$, $\frac {1}{1-x}= 1+x+x^2+...$ gana más de la $e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6+..$

Para $x\ge 1$ $1>(1-x)e^x$ es sencillo.

Answer 3

Puesto que estamos interesados en $0<x<2$, hacer el cambio de $0<x=\ln t<2 \Rightarrow 1<t<e^2$. La desigualdad se toman la forma: $$\frac12 \ln t>\frac{t-1}{t+1}$$ En $t=1$ son iguales. La LHS de la función crecen más rápido: $$\frac{1}{2t}>\frac{2}{(t+1)^2} \iff (t-1)^2>0.$$

Answer 4

No es una prueba, sino una interpretación geométrica: vamos a $$\begin{align}O&=(0,0)&A&=(1,0)&P&=(x,y)\end{align}$$ donde $x^2-y^2=1$ es la unidad de la hipérbola y $x>0$. Deje $B$ ser la intersección de la línea de $x=1$$OP$. Entonces $$B=(1,\tfrac{y}{x})\text{.}$$ Ahora, triángulo $\triangle OAB$ está completamente contenida dentro del sector hiperbólico $OAP$, por lo que tenemos $$\text{Area}(\triangle OAB)<\text{Area}(OAP)\text{.}$$ Supongamos que el área de sector de $OAP$ está dado por $\tfrac{\tau}{2}$. Entonces $$(x,y)=(\cosh\tau,\sinh\tau)\text{,}$$ y el área de la desigualdad anterior es $$\tfrac{1}{2}\tanh \tau < \tfrac{\tau}{2}\text{.}$$

Answer 5

Si $x\ne0$, luego $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{e^x-1}{e^x+1} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(1-\frac2{e^x+1}\right)\\[3pt] &=\frac{2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\\[3pt] &=\frac2{4+\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2}\\ &\in\left(0,\frac12\right) \end{align} $$ Por lo tanto, el Valor medio Teoremadice $$ \frac{\frac{e^x-1}{e^x+1}-0}{x 0}\\izquierdo(0,\frac12\right) $$ Es decir, $$ \frac{\ \frac{e^x-1}x\ }{\ \frac{e^x+1}2\ }\en(0,1) $$