Acceso directo/truco para la integración de un polinomio factorizado?

Question

Si estoy en la integración de un polinomio factorizado, dicen

$$\int{x(x+1)(x-2)(x+3)dx},$$

¿existe algún atajo que me impide tener que ampliar el polinomio? En la actualidad, solo quisiera hacer toda la multiplicación que puede resultar tedioso con un polinomio de orden superior y, a continuación, integrar de una vez lo tuve en $ax^n$ formulario. Me parece recordar que el aprendizaje de algún truco que ayudó aquí, y esto lo vi hace muy rápidamente en persona hace un par de semanas. He mirado en la web y los libros de texto, pero no he encontrado nada.

Alguien sabe si tal cosa existe?

Answer 1

Tenga en cuenta que el polinomio está integrado no tiene término constante. En particular, el grado más bajo de cualquier término es uno: es decir, $x(1)(-2)(3) = -6x$. Por lo tanto, la antiderivada tendrá un $x^2$ plazo que puede ser sacado.

Desafortunadamente, no hay ninguna razón para creer que el resto de la antiderivada será reducible. De hecho, en este caso la antiderivada es:

$$\frac{1}{30}x^2 (6x^3 + 15x^2 - 50x - 90) + C$$

donde el paréntesis cúbico es irreducible sobre $\mathbb{Z}$. En otras palabras, sólo porque el original polinomio factorizado muy bien, no significa encontrar las raíces de su antiderivada va a ser fácil.

Usted podría preguntarse ahora, ya que estamos en la integración de un cuarto de grado del polinomio, si hay una manera de saber rápidamente lo que los coeficientes serán de su quinto grado de la antiderivada. Nota, sin embargo, que tener los coeficientes de esta antiderivada es equivalente (en dificultad) para tener los coeficientes del polinomio original. Por ejemplo, el coeficiente de $x^5$ en la antiderivada es $1/5$, por lo que se concluye que el coeficiente de $x^4$ en el polinomio de pre-integración debe haber sido $1$. De esta manera, conocer la ampliación de la antiderivada nos permita "recuperar" los coeficientes del polinomio factorizado comenzamos con el, y así tener un "truco" para hacer el anterior nos daría un "truco" para hacer el último. Por lo tanto, el problema de la integración de un polinomio factorizado por el "truco" es básicamente equivalente en dificultad para la expansión de un polinomio por el "truco".

Esperemos que esto le da cierta intuición de por qué no hay manera rápida de encontrar dicho antiderivada.

Answer 2

Bueno, yo sólo escribí una larga e inútil respuesta que involucra el producto ampliado de la regla y una extensión de integración por partes. Resulta, que absolutamente feo e inútil aquí. Vamos a utilizar la tradicional integración por partes.

Deje $u'(x)=x(x+1)$ $v(x)=(x-2)(x+3).$ la Integración de $u'(x)$, $$\int x(x+1)dx=\int x^2+xdx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}.$$

Tomando la derivada de la $v(x)$ a través de la regla del producto, tenemos $$v'(x)=(x+3)+(x+2).$$

Como resultado de la integración por partes,

$$\int u'vdx=uv-\int uv'dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)(x-2)(x+3)-\int \left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\left((x+3)+(x+2) \right)dx$$

Esto es algo menos intenso y no es como error en decúbito prono. ¿Se siente usted esta ayuda? Voy a tratar de pensar en una idea inteligente.

La observación de factorización ? ? ?

$$\begin{align} \int x(x+1)(x-2)(x+3)dx&=\int x^2(x-2)(x+3)dx+\int x(x-2)(x+3)dx\\ &=\int x^3(x+3)dx-2\int x^2(x+3)dx\\ &+\int x^2(x+3)dx-2\int x(x+3)dx\\ &=\int x^3(x+3)dx-\int x^2(x+3)dx-2\int x(x+3)dx . . . \end{align}$$

Answer 3

La única forma posible de que jamás he visto este que se hace es por recursivamente usando integración por partes, muy similar al argumento anterior.

No estoy seguro de querer seguir este camino. Si las raíces de un polinomio son conocidos, por lo que son sus coeficientes (teniendo cuidado de un multiplicativo constante). Que puede ser un poco difícil de calcular a mano, pero son una absoluta trozo de tarta al codificado. Y la integración de polinomios, dado coeficientes, es la cosa más fácil que usted puede pedir.