No sé si hay un nombre para esta expansión, pero esta es la completa homogénea polinomio simétrico.
Edit: he Aquí una prueba que utiliza parcial fracción de descomposición.
Primera nota $$h_k = \sum_{k_1,k_2,\dots,k_n\ge0}^{\sum_{i=1}^n k_i=k}\prod a_i^{k_i}$$ has the generating function $$\sum_{n=0}^\infty h_k t^k = \prod_{i=1}^n \frac{1}{1 - a_it}.$$ So we need to find a way to extract the coefficient of $t^k$ desde el lado derecho.
Suponiendo que ninguno de los $a_i$'s son iguales, esto es una función racional en $t$ $n$ distintas raíces, por lo que podemos aplicar una fracción parcial de la descomposición:
$$\prod_{i=1}^n \frac{1}{1 - a_it} = \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{1 - a_it}.$$
para algunos $c_i$ a ser determinado. Multiplicando por el denominador de la izquierda le da
$$1 = \sum_{i=1}^n c_i\prod_{j \neq i} (1 - a_jt).$$
Para encontrar el$c_i$,$t = 1/a_i$. A continuación, cada término se desvanece, excepto la con $c_i$. Esto le da
$$1 = c_i\prod_{j \neq i} (1 - a_j/a_i)$$
$$ c_i = \frac{1}{\prod_{j \neq i} (1 - a_j/a_i)} = \frac{a_i^{n-1}}{\prod_{j \neq i} (a_i - a_j)}$$
A continuación, $$\sum_{k=0}^\infty h_k t^k = \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{1 - a_it} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=0}^\infty c_i a_i^k t^k$$
y así, el coeficiente de $t^k$ es
$$h_k = \sum_{i=1}^n c_i a_i^k = \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n+k-1}}{\prod_{j \neq i} (a_i - a_j)}$$
Buen trabajo encontrar esta bonita identidad, por cierto! Estoy seguro de que es "bien conocido", pero yo no lo había visto.
