El curioso caso de $x^{\pi} - 1 = 0$

Question

Yo estaba pensando en la solución(s) para la fracción de orden de la ecuación algebraica $ x^{\pi} - 1 = 0$

Obviamente, el conjunto solución es de la forma $x = e^{2nj}, n \in \mathbb{Z}$. Un countably conjunto infinito de los números complejos, todos los de la unidad de magnitud.

Deje $U$ el conjunto de unidad de la magnitud de los números complejos, que se define como $U = \{ x | x \in \mathbb{C}, |x|=1, x^{\pi} \ne 1\}$

La pregunta es, ¿Qué porcentaje de la unidad de círculo, $U$ constituyen?

Parece que la respuesta es $100\%$. Pero, eso es algo que me tiene un rato duro el conseguir mi cabeza alrededor.

Answer 1

Es fácil ver que : $ |x|=1 \Leftrightarrow x = e^{i \theta} $. Por lo tanto, equiparar esto con la solución que usted proporciona, vemos que, mientras que se pegue el dominio $ [0,2 \pi] $, podemos ver que $\theta = 2n $ encontrar los puntos en el círculo unitario que satisfacer $ x^\pi =1 $. Es decir, $ \theta $ es un número par. Así el conjunto de solución son finitos (en $ [0.2 \pi]$ ), en particular contables (contables en $ \mathbb R $ !!!!), y por lo tanto, si usted sabe un poco acerca de la teoría de la medida, el porcentaje es de 100%, de hecho.

Para hacerla simplemente pero condensated, hay una cantidad no numerable de puntos en el círculo unidad,$C,$ $|C \setminus U|$ es contable, por lo tanto, sobre la integración, el porcentaje es del 100%. (Puntos aislados no tienen "peso")

Answer 2

Definir la función de varios valores $x\mapsto x^{\pi}$ $S^1$ como:

$$e^{iy}\mapsto e^{\pi i(y+2\pi k)},\,k\in\mathbb Z$$

Como la otra respuesta de notas, el conjunto de $x\in S^1$ tal que $1$ es uno de los valores de $x^{\pi}$ es contable, y por lo tanto medida cero.

A saber: $x^\pi,$ tiene como uno de sus valores, el valor de $1$ si y sólo si $y+2\pi k$ es un entero par para algún entero $k.$

Sin embargo, para cualquier $x=e^{iy}$ y cualquier $\epsilon>0,$ podemos encontrar una $k$, de modo que $|x^{\pi}-1|<\epsilon.$ también Tenemos que el conjunto de posibles valores de $x^{\pi}$ es denso en $S^1.$

Sin embargo, la densa subconjuntos puede tener medida $0.$ Por ejemplo, los números racionales en $[0,1]$ tiene medida cero, y contables pone en $S^1$ tiene medida cero.

Aquí, el conjunto de $\{x\in S^1\mid 1\text{ is a value of } x^{\pi}\}$ tiene una medida de $0.$ Pero teniendo en cuenta cualquier barrio, $N$$1$$S^1$, la $\{x\in S^1\mid \text{a value of } x^{\pi}\text{ is in }N\}$ $S^1.$