¿Qué hace una conexión no simétrica en $\Bbb R^n$ ¿se ve así?

Question

3.6 Teorema. (Levi-Civita) Dada una variedad riemanniana $M$ existe una única conexión afín $\nabla$ en $M$ que satisfagan las condiciones:
 a)  $\nabla$ es simétrica.
 b)  $\nabla$ es compatible con la métrica de Riemann.

 - De Geometría de Riemann , do Carmo

Entiendo que, si nos deshacemos de a) arriba, la conexión ya no está definida de forma única. Pero no sé qué tipo de estructuras obtendríamos.

Por ejemplo, en $\Bbb R^n$ ¿Qué pasa cuando le das una conexión no simétrica? ¿Las geodésicas siguen siendo líneas rectas, o hay algunas conexiones (todavía compatibles con la métrica) para las que las geodésicas son curvas?

Si las geodésicas son siempre líneas rectas, imagino que algo raro ocurre con el transporte paralelo en su lugar. ¿Hay alguna conexión no simétrica y compatible con la métrica en $\Bbb R^2$ o tengo que ir a las dimensiones $3$ y arriba para encontrarlos? Sé que el transporte paralelo es una isometría en el espacio tangente, así que esto significa que tendría que torcer el espacio tangente de alguna manera si no es la conexión Levi-Civita, y creo que eso sólo tiene sentido si tienes tres o más dimensiones.

Answer 1

Uno de los ejemplos más sencillos que puedo sugerir es el siguiente (aunque no sea en el espacio euclidiano). Un grupo de Lie compacto (por ejemplo, $SO(3)$ ) tiene una métrica única (hasta la escala) bi-invariante. Para la conexión riemanniana asociada (simétrica), las geodésicas que pasan por el elemento de identidad son subgrupos de un parámetro, y en general son sólo traslados de grupo de subgrupos de un parámetro. La conexión viene dada por $\nabla_XY = -\frac12[X,Y]$ para campos vectoriales invariantes a la izquierda $X,Y$ y el tensor de curvatura puede calcularse algebraicamente a partir del corchete de Lie.

Sin embargo, podemos definir fácilmente una invariante plano conexión estableciendo la derivada covariante $\nabla_XY=0$ para cualquier campo vectorial invariante a la izquierda $X,Y$ . Entonces el tensor de torsión $\tau$ vendrá dada por el corchete de Lie, es decir $\tau(X,Y) = -[X,Y]$ . Así que ahora toda el álgebra de Lie está en la torsión.

Probablemente no puedas detectar la diferencia con las geodésicas (ya que cualquier campo vectorial invariante es paralelo a lo largo de sus curvas integrales en cualquier sentido), pero seguro que puedes ver la diferencia con la traslación paralela general.

EDITAR : Aquí hay una conexión $\nabla$ en $\Bbb R^2$ para que las parábolas $y=x^2+c$ son geodésicas. Sea $X_1 = \dfrac1{\sqrt{1+4x^2}}(1,2x)$ y $X_2 = (0,1)$ , y establecer $\nabla X_1 = 0$ , $\nabla X_2 = \left(\dfrac 2{\sqrt{1+4x^2}} X_1 - \dfrac{4x}{1+4x^2} X_2\right)\otimes dx$ . La conexión es compatible con la métrica y definitivamente no es simétrica.

Si escribimos $g_{ij} = X_i\cdot X_j$ (utilizando el habitual $\Bbb R^2$ producto punto) y $\nabla X_i = \sum_j \omega_i^j\otimes X_j$ la compatibilidad métrica viene dada por las ecuaciones $$dg_{ij} = \sum_k g_{ik}\omega_j^k + g_{kj}\omega_i^k.$$ Aquí tenemos $\omega_1^1 = \omega_1^2 = 0$ , $\omega_2^1 = \dfrac2{\sqrt{1+4x^2}}dx$ y $\omega_2^2 = -\dfrac{4x}{1+4x^2}dx$ y puede comprobar que la compatibilidad es la siguiente. Nótese que la conexión no es obviamente simétrica, ya que \begin{align*} \nabla_{X_2}X_1 &= 0, \quad \text{and yet} \\ \nabla_{X_1}X_2 &= \omega_2^1(X_1)X_1 + \omega_2^2(X_1)X_2 = \frac2{1+4x^2}X_1-\frac{4x}{(1+4x^2)^{3/2}}X_2. \end{align*} Por último, ya que $\nabla_{X_1}{X_1} = 0$ las curvas integrales de $X_1$ son geodésicas. Estas son las parábolas $y=x^2+c$ .

Answer 2

Yo hice la pregunta. Sin embargo, creo que tengo un ejemplo más sencillo que la respuesta actualmente aceptada.

Dejemos que $X=(1,0)$ y $Y=(0,1)$ sean los campos vectoriales unitarios constantes en el $x$ y $y$ direcciones. Definir una conexión tal que: $$\begin{matrix}\nabla_XX=Y&\nabla_XY=-X\\ \nabla_YX=0&\nabla_YY=0\end{matrix}$$ Equivalentemente, $\Gamma_{12}^1=-1$ , $\Gamma_{11}^2=1$ y todos los demás símbolos de Christoffel son cero. Es evidente que no es simétrico.

El transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva equivale a girar el vector en una cantidad igual al desplazamiento horizontal de la curva. Como la rotación es una isometría de los espacios tangentes, esta propiedad nos dice que la conexión es compatible con la métrica.

Desde $\nabla_YY=0$ Las líneas verticales son geodésicas. Cada una de las otras geodésicas parece una componente del gráfico de $\ln(\cos(x))$ pero con una cierta traslación horizontal y vertical. (Esto puede derivarse de la propiedad de transporte paralelo antes mencionada.) En otras palabras, las geodésicas no verticales parecen componentes del gráfico de $\ln(\cos(x+C_0))+C_1$ para algunos $C_0,C_1$ .

Para comprobarlo, podemos tomar $C_0=C_1=0$ sin pérdida de generalidad. Necesitamos una parametrización de velocidad unitaria de $y=\ln(\cos(x))$ . Se puede comprobar que la siguiente es una parametrización de este tipo: \begin{align}x(t)&=\tan^{-1}(\sinh(t))\\ y(t)&=-\ln(\cosh(t))\end{align}

Las ecuaciones para una geodésica, en este caso, exigen: \begin{align}\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2}-\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}&=0\\ \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2}+\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\right)\!^2&=0\end{align} Los cálculos muestran que $\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\operatorname{sech}(t)$ y $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=-\tanh(t)$ y el resultado es el siguiente.

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EDIT: Hay otra propiedad interesante de esta conexión. Si definimos $\nabla'$ tal que ${\Gamma'}_{ij}^k=\frac12(\Gamma_{ij}+\Gamma_{ji})$ entonces terminamos con una conexión simétrica con las mismas geodésicas. Sin embargo, el transporte paralelo cambia, y ya no es compatible con la métrica. De hecho, $\nabla'$ no es compatible con cualquier ¡métrico!

Para ver esto, observe que no hay ninguna geodésica que vaya entre $(0,0)$ y $(\pi,0)$ o entre cualquier par de puntos cuya distancia horizontal sea mayor o igual a $\pi$ . Si $\nabla'$ que es simétrica, fuera compatible con cualquier métrica, entonces sería la conexión de Levi-Civita en la correspondiente variedad riemanniana. Esto contradiría la Teorema de Hopf-Rinow , que afirma que, para cualquier variedad completa de Riemann, existe una geodésica entre dos puntos cualesquiera.

(Esto también significa que el teorema de Hopf-Rinow utiliza crucialmente la simetría de la conexión, ya que falla con nuestra asimetría $\nabla$ también).